Собственные векторы и собственные

значения линейного оператора

Определение 1. Собственным вектором оператора называют ненулевой вектор , удовлетворяющий равенству: =.

Определение 2. Собственным значением оператора называют число , для которого выполняется равенство: =, где - ненулевой вектор.

(1)

(2)

Решив последнее уравнение относительно , найдем собственные значения матрицы. Уравнение (5.8) называют характеристическим уравнением матрицы . Найдя корни характеристического уравнения, последовательно подставляя их в систему (1) и решая получаемые системы, найдем собственные векторы матрицы , каждый из которых соответствует определенному собственному значению.

Рассмотрим несколько примеров, в каждом из которых будем выполнять последовательность действий решения задачи об отыскании собственных значений и собственных векторов матрицы.

Пример 1.

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы . Дать геометрическую интерпретацию полученного решения.

Решение

1. Матрица имеет размерность 22, то есть является представлением линейного оператора в пространстве . Собственный вектор матрицы будем искать в виде: .

2. Составим уравнение для отыскания собственных векторов в матричном виде:

3. Перепишем матричное уравнение в виде системы уравнений:

3. Однородная система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее главной матрицы равен 0. Получаем характеристическое уравнение системы и решаем его:

.

Собственные значения матрицы : , .

4. Найдем собственные векторы для каждого собственного значения:

; ; ; Пусть , тогда собственное направление матрицы , соответствующее собственному значению , задается множеством векторов: , где .

; ; ; Пусть , тогда собственное направление матрицы , соответствующее собственному значению , задается множеством векторов: , где .

Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей А=.

1. Составим и решим характеристическое уравнение .

В нашей задаче .

Тогда характеристическое уравнение принимает вид:

, или ,

,

,

- собственные значения линейного оператора.

1. Найдем собственные векторы, соответствующие собственному значению , решая матричное уравнение:

х=0 или , т.е.

.

Полагая в последнем равенстве , получим .

Откуда собственные векторы, соответствующие собственному значению , имеют вид х¹=.

2. Найдем собственные векторы, соответствующие собственному значению , решая матричное уравнение:

х=0 или , т.е.

.

Полагая в последнем равенстве , получим .

Откуда собственные векторы, соответствующие собственному значению , имеют вид х²=.

Ответ. Собственному значению соответствуют собственные векторы х¹=, а собственному значению собственные векторы

х²=.

Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей А=.

1. Найдем собственные значения линейного оператора. Для этого составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

.

,

,

,

,

, ,

, - собственные значения линейного оператора.

2. Найдем собственные векторы, соответствующие собственному значению . Исходя из соотношения х=0 или в нашем случае

, запишем систему:

Решая методом Гаусса, получаем

Поскольку ранг матрицы системы (r=2) меньше количества неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. Записывая преобразованную систему и решая ее, получим , .

Таким образом, собственные векторы, соответствующие собственному значению , имеют вид: Х¹=.

3. Найдем собственные векторы, соответствующие собственному значению . Исходя из соотношения х=0 или в нашем случае

, т.е.

Решая методом Гаусса, получаем

откуда, система принимает вид

Полагая , получим .

Таким образом, собственные векторы, соответствующие собственному значению , имеют вид: Х²=.

4. Найдем собственные векторы, соответствующие собственному значению . Исходя из соотношения х=0 или в нашем случае

, т.е.

Решая методом Гаусса, получаем

,

откуда, система принимает вид

Полагая , получим .

Таким образом, собственные векторы, соответствующие собственному значению , имеют вид: Х³=.