7.4. Поверхности второго порядка

Определение 1. Поверхность второго порядка– это линия, уравнение которой в заданной системе координат имеет вид:

,

(7.8)

где - числовые коэффициенты, причем хотя бы одно из чисел,,,,илине равно нулю.

Уравнение (7.8) содержит две части:

линейная часть =

квадратичная форма =

Будем предполагать, что система координат, в которой рассматриваем поверхность, это декартова прямоугольная система, то есть репер с ортонормированным базисом .

Матрица квадратичной формы :

.

(7.9)

Приведя квадратичную форму к главным осям и выбрав ортонормированный базис () среди собственных векторов матрицы, получим матрицу квадратичной формы в этом базисе:

,

(7.10)

где - собственные значения матрицы, причем некоторые из них могут совпадать.

Квадратичная форма в репере представляет сумму квадратов своих переменных:

=.

(7.11)

Отметим, что, если , то соответствующее слагаемое в квадратичной форме не представлено, однако всене могут быть равны нулю одновременно.

Уравнение поверхности в этом репере:

+=0.

(7.12)

Сместим начало координат в точку :

Подберем координаты точки так, чтобы переменные, представленные в квадратичной форме, исчезли из линейной части. После этого преобразования координат закончены. Систему координатназываютканонической системой координат поверхности второго порядка, а ее уравнение в этой системе – каноническим уравнение поверхности второго порядка.

Аналогично тому, как плоские кривые второго порядка в зависимости от вида своего канонического уравнения разбиваются на классы линий (см. стр. ), поверхности второго порядка также можно классифицировать по виду канонических уравнений. Однако видов поверхностей значительно больше, чем видов плоских линий. Поэтому полную классификацию мы не приводим, рассмотрим лишь наиболее часто встречающиеся типы поверхностей.

- -	Эллипсоидом называют поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид: . Проекциями эллипсоида на координатные плоскости являются эллипсы: . , .

-	Однополостным гиперболоидом называют поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид: . Проекциями однополостного гиперболоида на координатные плоскости являются: на плоскостиэллипс. На плоскостях игиперболы:.и.

Двуполостным гиперболоидом называют поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид: . Проекциями однополостного гиперболоида на координатные плоскости являются: на плоскостипустая линия:. На плоскостях игиперболы: и .

Эллиптическим параболоидом называют поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид: . Проекциями эллиптического параболоида на координатные плоскости являются: на плоскоститочка:. На плоскостях ипараболы: и .

131