Решение

1. Результаты замеров сгруппируем в порядке возрастания.

2. Определим максимальное и минимальное значение замеров. Минимальное значение = 5 , максимальное значение = 25 мм.

3. Найдем размах варьирования R = 25-5 = 20 мм

4. Поскольку общее число наблюдений было n = 100, количество интервалов было выбрано равным l == 10, что удовлетворяет условиюl = 5 lg 100 = 10. В результате длина интервала (или шага) равна R/l = 20/10 = 2 мм.

5. Рассчитаем границы интервалов, их середины х^о_j . Число наблюдений в каждом из них (n_j) дано в табл.2. Здесь же даны все вычисленные величины, необходимые для определения выборочных характеристик. Данные, попавшие за границу интервала, помещаем в ближайший меньший интервал (например, замер в 15 мм помещали в интервал 13-15).

Анализ замеров длины сварочной проволоки при определении

технико-экономических показателей механизированной сварки под флюсом Таблица 7

раницы интервалов	Середина интервала хоi	Число наблюдений nj	хоjnj	(хоj )2nj	(хоj )3nj	(хоj)4nj
5-7	6	2	12	72	432	2592
7-9	8	4	32	256	2048	16384
9-11	10	11	110	1100	11000	110000
11-13	12	18	216	2592	31104	373248
13-15	14	30	420	5880	82320	1152480
15-17	16	18	288	4608	73728	1179648
17-19	18	11	198	3564	64152	1154736
19-21	20	3	60	1200	24000	480000
21-23	22	2	44	968	21296	468512
23-25	24	1	24	576	13824	331776
		100	1404	20816	323904	5269376

По формулам находим

= 1404 /100 = 14,04 мм;

S² = 1/99  20816 – (1/100)  1404² = 11,1498;

S = = 3,339 ; V = (3,339/ 14,04)  100 = 23,78%.

Согласно формулам (8) и (9) находим S_k и E_k

S_k = 0,145 ; E_k = 0,336

Из значений V, S_к, E_k видно, что несмотря на малую асимметрию наблюдается высокое рассеяние (23,78%) , что вызывает предположение о влияние какого-то неучитываемого фактора (факторов), изменяющихся в больших пределах. Другими словами, результаты получены не в одинаковых условиях, хотя для экспериментатора они оказались скрытыми. Если это так, то закон распределения выборки должен значительно отличаться от нормального.

6.2.3 Практическое занятие

«Проверка закона нормального распределения»

Теоретическая часть

Проверку нормальности закона выборочного распределения можно приближенно производить с помощью выборочных показателей асимметрии и эксцесса.

Для этого считают среднеквадратические отклонения указанных показателей:

; (10)

(11)

Гипотеза нормальности распределения подтверждается в том случае, когда S_k  и Е_k .

Пример расчета

Проверим предположение о нормальности распределения величин в примере 2 (замеры длины проволоки)

Решение

Рассчитываем среднеквадратические отклонения выборочных показателей асимметрии и эксцесса

;

Так как вычисленные абсолютные значения S_к и E_k меньше и , гипотеза о нормальности распределения величин данных эксперимента может быть принята. Следовательно, предположение о влиянии неизвестного фактора не подтверждается, а рассеяние объясняется влиянием случайных факторов. Это вызывает необходимость определения других характеристик – доверительных интервалов.

6.2.4 Практическое занятие

«Определение доверительного интервала для выборочных характеристик»

Цель занятия: освоить методику нахождения доверительных интервалов среднего арифметического значения и среднеквадратического отклонения выборки; оценить доверительные интервалы в зависимости от доверительной вероятности

Теоретическая часть

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки рассмотренные в ранее приведенных примерах. При выборке малого объема точечная оценка малозначительно отличается от оцениваемого параметра, то есть приводит к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборке следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Доверительной вероятностью (надежностью оценки) Р называют вероятность, с которой доверительный интервал при многократном повторении опыта покрывает истинное значение характеристики (оценки).

Доверительным интервалом для параметра х называется интервал (х₁, х₂), содержащий истинное значение х с заданной вероятностью Р. Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервального оценивания, зависит от объема выборки n и доверительной вероятности Р ( Р = 1 – ). При увеличении объема выборки длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением доверительной вероятности к единице - увеличивается .

При определении доверительного интервала задаются уровнем значимости (), исходя из степени точности, с которой проводится эксперимент. Обычно принимают  равным 0,1; 0,05 или 0,01. При этом вероятность (Р = 1-  ), с которой доверительный интервал при многократном повторении опыта покрывает истинное значение характеристики, будет равна 0,9; 0,95 или 0,99.

Доверительный интервал для среднего арифметического рассчитывают из выражения

(12)

Критерий Стьюдента (t_,f ) для уровня значимости  и числа степеней свободы f = n –1 берется из таблиц ( приложение)

Доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения выборки вычисляют по формуле

b  (13)

Критерий Пирсона () для уровней значимости /2 или 1-  /2 и числа степеней свободы f = n –1 берется из таблиц ( приложение )

Число степеней свободы, т.е. разность между числом выполненных опытов и числом констант (средних, коэффициентов и пр.) подсчитывается по результатам.