Пример расчета

При определении износостойкости аустенитного чугуна были получены результаты: 24, 44, 44, 45, 46, 47, 47, 48, 48, 48, 48, 52 мм /ч. Требуется проверить с помощью критерия Груббса, не являются ли ошибочными первый и последний результаты испытаний.

РЕШЕНИЕ

Для рассматриваемой выборки = 49 мм /ч,S = 8,12 мм /ч, рассчитываем по формуле (15) значение Г для наибольшего результата:

Г₁ = (52 – 49) / 8,12 = 0,369 ,

а по (14) для наименьшего результата:

Г₂ = (49 – 24) / 8,12 = 3,078 .

Табличное критическое значение Г _{0,05; 12} = 2,39.

Поскольку 0,369 < 2,387, а 3,078 > 2,387, значение 52 мм /ч следует оставить в рассматриваемом ряду, а 24 мм /ч – исключить из этого ряда. В этом случае повторяют опыт, чтобы заменить исключенное значение, или ограничиваются оставшимися.

Контрольные задачи

1. Исключить грубые ошибки методом Груббса

111; 110; 98; 112; 113; 123; 112; 110; 111; 112; 110; 113; 112 при  = 0,01; S = 10,1

2. Исключить грубые ошибки методом Груббса

72; 73; 72; 65; 71; 73; 70; 72; 73; 72; 79; 72; 71 при  = 0,025; S = 2,95

3. Исключить грубые ошибки

10,5; 10,6; 10,7; 11,0; 10,9; 9,6; 10,7; 10,6; 12,1; 10,8; 10,9; 10,7 при  = 0,025; S = 0,31

4.Исключить грубые ошибки

100; 99; 98; 102; 104; 111; 98; 102; 92; 100; 99 при  = 0,01; S = 2,3

5. Исключить грубые ошибки методом Груббса

13,6; 13,6; 13,7; 13,8; 13,5; 12,5; 13,6; 13,7; 14,8; 13,8; 13,5 при  = 0,01; S = 0,65

6.Исключить грубые ошибки по правилу трех сигм

164; 166; 162; 151; 164; 165; 168; 174; 166; 162; 164 при  = 0,05; S = 3,1

7.Исключить грубые ошибки

15,1; 15,2; 14,0; 15,3; 14,9; 16,0; 15,2; 15,0; 15,3; 15,2 при  = 0,1; S = 0,51

8.Исключить грубые ошибки по правилу трех сигм

20,8; 20,9; 21,0; 20,8; 24,0; 20,9; 21,2; 21,3; 19,0; 21,0; 20,9 при  = 0,025; S = 0,91

9.Исключить грубые ошибки

20,3; 20,5; 20,2; 20,0; 17,0; 20,3; 20,4; 22,0; 20,5 при  = 0,01; S = 0,6

10.Исключить грубые ошибки по правилу трех сигм

182; 184; 183; 180; 169; 184; 185; 180; 184; 196; 180 при  = 0,05; S = 7,1

6.2.6 Практическая работа

«Вторичная обработка результатов экспериментов. Основы

Регрессионного анализа»

Теоретические сведения

В практике часто применяются строгие функциональные зависимости, сущность которых заключается в том, что какая-либо переменная определяется как однозначная функция одной у = f(x) или нескольких у = f(х₁, х₂, ..., х_n) переменных.

Простейшая форма связи между переменными - линейная зависимость, которую можно выразить общим уравнением

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + ... + b_nx_n (16)

где у – зависимая переменная; х_i (i = 1, 2, …, n) – независимые переменные; b_i (i = 1, 2,…, n) – неизвестные коэффициенты; n – число независимых переменных.

Эту модель (16) часто называют уравнением регрессии, а способ ее построения регрессионным анализом.

С помощью регрессионного анализа устанавливается связь между случайной зависимой переменной у и неслучайными независимыми переменными х_i. При этом предполагается, что зависимая переменная у имеет нормальный закон распределения и дисперсия ее определения не зависит от абсолютной величины, а независимые переменные x_i устанавливаются с очень малой ошибкой. Эту линейную связь устанавливают следующим образом:

Предположим, имеется определенное число пар наблюдений (у_i, х_i ), где у_i - зависимая переменная, а х_i -независимая переменная. По этим парам наблюдений можно построить прямую, описываемую уравнением

ŷ_i = b₀ + b₁x_i , (17)

где ŷ_i - предсказываемое уравнение регрессии, значение зависимой переменной.

Для нахождения этого уравнения нужно подобрать параметры b₀ и b₁ так, чтобы точки пар наблюдений, (x₁y₁; x₂y₂; ...; x_ny_n) лежали на плоскости xoy как можно ближе к прямой, описываемой уравнением (17). Неизвестные коэффициенты (коэффициенты регрессии) b₀ и b₁ определяют с помощью метода наименьших квадратов.

Для этого находят смещение _i относительно предполагаемого ŷ_i – y_i = _i для каждой пары наблюдений (x_i y_i)

Для уменьшения различия между предполагаемыми по уравнению значениями ŷ_i и наблюдаемым у_i сумму квадратов отклонений приравнивают к минимуму.

b₀ + b₁x₁ – y₁ = ₁ = F₁(b₀, b₁)

……………………………… (18)

b₀ + b₁x_n – y_n = _n= F_n(b₀, b₁)

(19)

 должно иметь нормальное распределение и быть независимо.

(20)

Для отыскания минимума данной функции приравнивают к нулю соответствующие частные производные:

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

Получив систему уравнений (25) и (26) и выполнив преобразования, находят искомые коэффициенты линейной регрессии b₀ и b₁.

(28)

(29)

С помощью уравнений (27) и (28) рассчитывают коэффициенты регрессии и получают линейную зависимость y от x.

Полученное уравнение анализируют на адекватность результатам наблюдения. Для этого находят среднеквадратическое отклонение S_ост. по формуле

, (30)

где k – число степеней свободы.

Линейная регрессионная модель называется адекватной, если предсказанные по ней значения переменной у согласуются с результатами наблюдений. Грубая оценка адекватности модели может быть проведена непосредственно по графику остатков, то есть разностей между наблюдаемыми значениями y_i и вычисленными ŷ_i.

Получение уравнения регрессии – это лишь 1-й этап исследования связи между переменными, 2-й этап – его всесторонний анализ.