231-240.

Показать, что функция удовлетворяет равенству:

Находим частные производные по и по:

Подставим в равенство частные производные.

;

Равенство верно.

251-260.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции

в области

y

В С

3

D

2

А D

0 1 2 x

а) Найдём стационарные точки

Точка - стационарная, но не принадлежит областиD.

б) Исследуем данную функцию на границах квадрата АВСD

АВ:

Функция возрастает на границе АВ

ВС:

На границе ВС функция возрастает

Значит на границе фнкция возрастает

Значит на границе фнкция возрастает

Найденные значения z сравним и выделяем

261 – 270

Дана функция точкаи вектор

Найти в точкеи производную в точкепо направлению вектора.

Найдём частные производные и вычислим их значение в точке .

–направляющие косинусы вектора

Литература к заданиям 231 – 240, 251 – 260 , 261 – 270 – П.Е.Данко , А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах

гл. VIII §§1-2, §4.

281 – 290.

Найти неопределённые интегралы, выполнив проверку дифференцированием в первых двух примерах.

_{Решение}

Проверка:

Метод интегрирования по частям для функции

Формула:

_{Проверка:}

_{Найдём коэффициенты}

301– 310

Вычислить несобственный интеграл

Несобственный интеграл расходится.

Методы интегрирования рассматриваются в учебном пособии

– П.Е.Данко , А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах ч. I, гл. IХ. §§1-4.

В данном задании предлагается решить дифференциальное уравнение одного из трёх типов – однородное, линейное или с разделяющимися переменными. Предлагается решение однородного уравнения

321 – 330

В данном задании предлагается решить дифференциальное уравнение одного из трёх типов – однородное, линейное или с разделяющимися переменными. Предлагается решение однородного уравнения

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

.

Уравнение является однородным.

Функции однородные второго порядка.

Уравнение можно привести к виду

разделить обе части на а затем на.

Введём подстановку

Разделяем переменные:

Интегрируем обе части,получаем

Общее решение примет вид

Задание 341-350.

Найти общее и частное решения дифференциального уравнения

при начальных условиях .

Однородное уравнение

имеет характеристическое уравнение

корни которого .

Тогда общее решение

_{- для однородного уравнения}

Согласно теории общее решение данного неоднородного уравнения имеет вид частное решение данного уравнения, правя часть которого

Учитывая стандартную формулу правой части, находим

Число не совпадает с

подбираем с учётом этого

Найдём

Общее решение данного уравнения

Найдём частное решение, взяв для отыскания

_{В равенства (1) и (2) подставим начальные условия: , тогда}

Тема «обыкновенные дифференциальные уравнения рассмотрена в пособии Высшая математика в упражнениях и задачах ч., гл., П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова.

Задание 371-380.

Вычислить двойной интеграл если областьD ограничена окружностями

Необходимо перейти к полярным координатам, используя формулы перехода

Интеграл, звисящий от , берём по частям

В результате

Задание 391-400.

Вычислить криволинейный интеграл по дуге линии, заданной параметрически

Тогда

Задание 421-430

Исследовать сходимость числового ряда

‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ Для исследования данного ряда применяем признак Даламбера:

, ряд расходящийся, сходящийся,нет ответа по данному признаку.

по данному условию, составим

Значит данный ряд сходящийся.

Задание 431-440

Найти область сходимости степенного ряда

Прежде всего определяется радиус сходимости степенного ряда

Значит интервал сходимости

На границах интервала рассматриваются числовые ряды.

При

Так как предел то ряд считается расходящимся.

При_– знакочередующийся ряд.

1. Рассмотрим члены ряда по абсолютной величине

_{Члены ряда возрастают, значит по теореме Лейбница при ряд расходящийся.}

_{Задание 441 – 450}

_{Вычислить определённый интеграл с точностью 0,001, Разложим подынтегральную функцию в ряд, а затем проинтегрируем её почленно.}

.

Используя разложение в ряд Маклорена функции

, запишем разложение

Проинтегрировав, получим:

Значение интеграла (по теореме Лейбница) соответствует сумме с точностью 0,001.

Шестое слагаемое , поэтому взято пять слагаемых.

Типовые задачи по теме «Ряды» рассматриваются в учебном пособии П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч., гл.,§§1-6.

451 – 460.

Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравненияудовлетворяющего данному условию

Используем разложение искомой функции в ряд Тейлора около точки .

В нашем примере т.е. первый член ряда обращается в ноль.

Из заданного дифференциального уравнения

Поэтому второй член ряда имеет вид . Чтобы найти третий член ряда продифференцируем обе части нашего уравнения

И поэтому следующий член ряда равен . Аналогично

Третий нулевой член ряда

Окончательно:

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов рассматривается в учебном пособии П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.М.Кожевникова.Высшая математика в решениях и задачах, ч.гл., §4.