§ 2 Локальные и глобальные экстремумы функции нескольких переменных.

При изложении этого материала предполагается знание студентами раздела курса математического анализа, касающегося функций нескольких переменных, а также сведений из курса линейной алгебры (матрицы и определители). Напомним некоторые определения и теоремы.

Определение 2.1. Всякий упорядоченный набор n действительных чисел называется точкой п-мерного арифметического пространства Rⁿ, а сами числа х₁, х₂, … х_n называются координатами этой точки Р=Р(х₁,х₂ … х_n).

Определение 2.2. Пусть – произвольное множество точек n-мерного арифметического пространства. Если каждой точке Р(х₁, х₂ …х_n) поставлено в соответствие действительное число f (Р)=f (x₁, x₂…x_n), то говорят, что, на множестве D задана числовая функция f от n переменных. Множество D называется областью определения функции f(Р).

Определение 2.3. Пусть P(x, у) произвольная точка из области определения функции двух переменных Z = f(x,у). Предел называется частной производной данной функции по переменной х в точке P(x, у) и обозначается или Z_x^', или f ^' , или.

Аналогично Z′_у ==. называется частной производной по у в точке P(x, у).

Для функций с большим числом переменных понятие частных производных вводится аналогично.

Из этих определений следует, что вычисление частной производной функции нескольких переменных производится так же, как и для функции одной переменной. При этом все переменные, кроме той, по которой производится дифференцирование, считаются константами.

Определение 2.4. Частными производными второго порядка функции

Z = f(x,у) называются частные производные от ее частных производных первого порядка и обозначаются так

Смешанные производные и , равны между собой, если они непрерывны (что обычно выполняется).

Определение 2.5. Точка Р₀ называется точкой локального минимума (максимума) функции ƒ(Р), если для любой точки P ≠P_o из некоторой окрестности точки Р₀ выполняется неравенство ∆ ƒ(P_о)= ƒ(P)– ƒ(P_о)>0(∆ ƒ(P_о)<0).

Теорема 2.1. (необходимое условие экстремума).

Если дифференцируемая функция ƒ(P) достигает экстремума в точке

P₀=Р (x₁º,x₂º…x_nº), то в этой точке для всех i =1,2,…n.

Точки, где все=0 называется стационарными. Таким образом, экстремум может достигаться либо в стационарных точках, либо в таких, где ƒ(P) недифференцируема.

Для решения вопроса о том, является ли стационарная точка P₀ точкой экстремума, нужно рассмотреть знак приращения функции в этой точке.

∆ƒ(Р_о)=ƒ(Р)– ƒ(Р_о) ≈ d ƒ(Р_о)+ d² ƒ(Р_о)

Последнее равенство выполняется тем точнее, чем меньше приращения независимых переменных ∆ x_i ≡ dx_i = x_i–xº_i.

Здесь d ƒ(Р_о) – первый дифференциал функции ƒ(Р) в точке Р_0.

d ƒ(Р_о)= . В стационарной точке d ƒ(P_о) = 0.

d² ƒ(Р_о) =

• второй дифференциал функции ƒ(Р) в этой точке.

Теорема 2.2. (Достаточное условие экстремума).

Пусть P₀ стационарная точка функции ƒ(Р), причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки Р₀ и все ее вторые частные производные непрерывны в этой точке. Тогда:

1) если второй дифференциал d² ƒ(Р_о)>0 (d² ƒ(Р_о)<0) для любых наборов dх_i (не равных нулю одновременно), то Р₀ – точка локального минимума (максимума). В этом случае матрица, составленная из вторых производных функции

f (x₁, x₂…x_n) в этой точке – матрица Гессе H_f =

называется положительно (отрицательно) определенной;

2) если d² ƒ(Р_о)>0 для одних наборов dx_i и d² ƒ(Р_о) )<0 для других наборов dx_i , то в P₀ нет экстремума. Матрица Гессе называется неопределенной.

3) если d² ƒ(Р_о)>0 для одних наборов dx_i и d² ƒ=0 для других наборов dx_i (но dx_i ≠ 0 одновременно), то матрица Гессе называется положительно полуопределенной. Аналогично, если d² ƒ≤ 0 то H_f, называется отрицательно полуопределенной. И в том и другом случае для решения вопроса о существования локального экстремума в точке Р_о требуется дополнительное исследование.

Теорема 2.3. (Критерий Сильвестра). Для того, чтобы матрица Гессе

H_f (Р_о) была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все n ее угловые миноры были положительны, то есть

… и т.д.

В случае отрицательной определенности матрицы H_f знаки ее угловых миноров чередуются, начиная со знака "минус" для минора I-го порядка: .

Определение 2.6. Главным минором квадратной матрицы А называется определитель любой матрицы, полученной из А вычеркиванием части ее строк и столбцов с одинаковыми номерами. Всего главных миноров для матрицы n-ого порядка будет (2ⁿ–1)штук.

Теорема 2.4. (Критерий Сильвестра). Для того, чтобы матрица Гессе была положительно полуопределена, необходимо и достаточно, чтобы все ее главные миноры были неотрицательны (но хотя бы один из угловых миноров должен быть равен нулю). Для того, чтобы матрица Гессе H_f была отрицательно полуопределена в точке Р, необходимо и достаточно, чтобы (–H_f) была положительно полуопределена.

В частном случае функции двух переменных достаточные условия экстремума можно сформулировать следующим образом.

Теорема 2.5. Пусть Р_o (x_o, у_о) стационарная точка функции z = f(x,у), причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки Р_o и все ее частные производные второго порядка непрерывны в Р_o.

Введем обозначения:

A= B= C= ,.

Тогда:

1)если D>0, A>0 – P_о – точка минимума,

D>0, A<0 – P_о – точка максимума,

2) если D < 0 – экстремума в точке P_о нет;

3) если D = 0, то требуется дополнительное исследование.

В приложениях (в частности, экономических) наибольший интерес представляют не локальные, а глобальные экстремумы функции.

Определение 2.7. Пусть функция f (Р)=f (x₁,x₂…x_n) определена на множествоRⁿ. Говорят, что в точке функция f достигает глобального минимума (принимает наименьшее значение) на множестве Х, если для всех точек выполняется неравенство аналогично, f достигает глобального максимума (принимает наибольшее значение) на множестве Х, если для всех точек имеет место

Задача отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на замкнутом множестве в случае функций одной и двух переменных рассматривалась в курсе математического анализа [ 1 ].

Особый интерес представляют выпуклые (и вогнутые) функции. Оказывается, что для них локальный экстремум является и глобальным.

Определение 2.8. Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно полностью содержит и отрезок, их соединяющий.

Следующие рисунки иллюстрируют различие между выпуклым и не выпуклым множеством точек плоскости. Рис. 2.2.

Определение 2.9. Функция f(Р), определенная на выпуклом множестве Rⁿ называется выпуклой (вогнутой), если любой отрезок [AB], соединяющий две точки ее графика лежит " не ниже" (" не выше") соответствующих точек графика.

Иллюстрация для случая функции одной переменной представлена на следующем рис.2.3.

Теорема 2.6. Пусть f(Р) дважды непрерывно дифференцируема на открытом выпуклом множествеRⁿ. Тогда для выпуклости f на Х необходимо и достаточно, чтобы ее матрица Гессе была положительно или полуположительно определена в каждой точке .

Для доказательства вогнутости f(Р) достаточно доказать выпуклость функции (– f(Р)).

Задача 2.1. Найти минимум функции у=(х₁–7)² + (х₂–6)⁴. Является ли данная функция выпуклой?

Решение. Найдем частные производные 1-го порядка и составим систему уравнений

Решая ее, найдем критическую (стационарную) точку Р₀ (7,6). Найдем далее частные производные 2-го порядка:

Найдем значение D=АС-В² в стационарной точке Р₀. А =

D= АС–В²=2·0–0²=0. Согласно п. 3 теоремы 2.5, требуется дополнительное исследование. Для этого найдем полное приращение функции у (х₁,х₂) в стационарной точке ∆у (Р₀) = ∆у (7,6)=(7+∆ х₁–7)² + (6+∆ х₂-6)⁴ – ((7-7)² + (6-6)⁴)=∆ х₁² + ∆х₂⁴>0 для любых ∆х₁, ∆х₂ не равных одновременно нулю. Следовательно, Р₀ (7,6) – точка локального минимума, У_min = 0

Проверим функцию на выпуклость. Прежде всего, отметим, что функция у определена на всей координатной плоскости R² (открытом выпуклом множестве). Ее матрица Гессе в произвольной точке (х₁,х₂) имеет вид

.

Матрица Hу положительно полуопределена, поскольку знаки всех ее главных миноров в любой точке (х₁,х₂) R² неотрицательны: ∆₁=2>0, ∆₂ =12 (х₂—6)² ≥0, ∆₃ = = 24 (х₂—6)² ≥ 0.

Следовательно, функция у будет выпуклой на всем пространстве R²,а потому в точке Р₀ (7,6) она достигает глобального минимума.

Задача 2.2. Найти минимум функции у=(х₁–х₂)² +х. Является ли данная функция выпуклой?

Решение. Найдем частные производные 1-го порядка и составим систему уравнений

Решая ее, найдем критическую (стационарную) точку Р₀ (3,3). Найдем далее частные производные 2-го порядка:

D = АС–В²=2∙4–(–2)²=4 .

Так как D>0 и А > 0, то Р₀ (3,3) – точка локального минимума:

У _min = (х₁–х₂)² + х–6х₂

Проверим функцию на выпуклость. Прежде всего, отметим, что функция у определена на всей координатной плоскости R² (открытом выпуклом множестве). Ее матрица Гессе в любой точке (х₁ х₂) имеет один и тот же вид.

Ну =

Матрица Ну положительно определена на координатной плоскости R², так как ее угловые миноры положительны: Следовательно, функция у будет выпуклой на всем пространстве R², а потому в точке Р₀ (3,3) она достигает глобального минимума.