4

Аналитическое представление магнитного поля земли Магнитное поле Земли как поле однородно намагниченного шара. И. М. Симонов в 1835 г., основываясь на результатах наблюдений того времени, высказал предположение, что магнитное поле Земли является полем однородно намагниченного шара, магнитная ось которого проходит через центр земного шара. Потенциал однородно намагниченного шара в точке P выражается уравнением: U=(M/r²)cos , где  – угол между осью магнита OQ и направлением радиуса вектора ОР = r; при этом ось шара (ось вращения Земли) ON составляет с магнитной осью OQ угол 90 –_o . Соединяя точки Р, Q и N дугами больших кругов, из сферического треугольника PQN можем найти cos = sin sin_o + cos cos_o cos( – _o), где  и  – широта и долгота точки Р, а (_о и _о – широта и долгота точки Q, и, следовательно, U = (M /r²)[sin sin_o + cos cos_o cos( – _о)]. Магнитный момент M можно выразить через объем и намагниченность J по формуле М = (4/3)R³J, где R – радиус шара.

Введем следующие обозначения: (1) т огда получим (2)

Так как дуга NP большого круга является меридианом точки Р, то составляющая в направлении PN будет не что иное, как северная составляющая X, а составляющая в направлении дуги SP малого круга – восточная составляющая Y и, наконец, составляющая в направлении радиус-вектора r – вертикальная составляющая Z. Поэтому

Дифференцируя выражение (2) по ,  и r и полагая r = R_E (так как точка Р лежит на поверхности Земли), получаем для составляющих магнитного поля следующие значения:

где – некоторые постоянные коэффициенты, не зависящие от положения точки Р на поверхности Земли, _о и _о представляют координаты точки пересечения магнитной оси с поверхностью земного шара. Если за начальный меридиан принять меридиан, проходящий через эту точку, то _о=0 и на основании формулы (1) = 0, поэтому составляющие земного поля выразятся следующим образом

Е сли же ось координат совместить с магнитной осью, то X, Y и Z примут вид:

или:

(3)

Для магнитного экватора, где Z = 0, Н = Н_Т = М/R³.

Для магнитных полюсов, где Н = 0 ; Z = H_T =  2M/R³ .

Отношение Z/H представляет собой тангенс угла наклонения j, поэтому, разделив уравнения (3) одно на другое, получим: tg j = 2tg _m ,

т. е. тангенс угла наклонения в два раза больше тангенса магнитной широты.

Например, величина полной напряженности поля на магнитном экваторе примерно в два раза меньше, чем на магнитном полюсе (на полюсе Н_Т = 0,65 Э, на экваторе Н_Т  = 0,35 Э).

Представление потенциала магнитного поля Земли (магнитного потенциала) и его производных в виде рядов (Теория Гаусса)

Магнитный потенциал намагниченного тела в точке Р имеет вид: , где – элемент магнитной массы,  – объемная плотность магнитной массы (заряда)

1. Согласно Гауссу, для магнитного поля Земли, которое вызывается исключительно внутренними источниками потенциального характера, в точке r, имеем:

,

где R – радиус Земли, – коэффициенты Гаусса, – присоединенный полином (функция) Лежандра степени n и порядка m .(Суммирование в первой сумме начинаем с единицы, поскольку первый член ряда (для ) равен нулю. Действительно, при получаем член вида , представляющий собой алгебраическую сумму магнитных масс, заключенных в Земле, которая должна быть равна нулю). На поверхности Земли имеем:

,

– так называемый «сферический гармонический ряд» откуда для компонент поля получаем:

.

Физическое значение членов ряда Гаусса. Несмотря на чисто формальный характер сферического гармонического анализа, отдельные члены сферического гармонического ряда могут иметь определенную физическую интерпретацию. Действительно, первый член разложения Гаусса (n = 1) – это потенциал однородно намагниченного шара, т.е. потенциал для магнитного диполя. Следующие члены разложения – мультиполи.

Знание коэффициентов Гаусса позволяет выразить величину магнитного диполя Земли:

,

а также значения географических координат _о и _о геомагнитных полюсов:

.

Зная координаты _о и _о, можем перейти к геомагнитным координатам. Формулы перехода:

,

где  и  – географические, а _m и _m – магнитные координаты точки наблюдения.

2. Подобный же анализ возможен и для потенциального поля внешних источников:

;

здесь r – «радиус» места расположения внешнего источника.

Здесь уже суммирование по n ведется с нуля (нет уверенности, что мы суммируем «весь источник»).

Поле, обусловленное и внутренними, и внешними источниками:

:

.

Вводя обозначения: , (5)

можно X, Y, Z переписать:

(6)

Эти формулы и дают возможность определить, какая часть наблюдаемого поля вызывается внешними причинами и какая часть – внутренними. Действительно, вычисляя коэффициенты р' и q' из наблюдений вертикальной составляющей Z и р и q из наблюдений составляющей Х или Y, мы можем на основании уравнений (5) определить коэффициенты g и h, соответствующие полю, вызываемому внутренними причинами, и коэффициенты j и k, соответствующие внешним причинам.

3. Вихревое поле. Если бы земную поверхность, где производятся наблюдения, пересекали вертикальные электрические токи, то силовые линии создаваемого ими магнитного поля представляли бы собой замкнутые линии, параллельные поверхности Земли, т. е. имели бы вихревой характер. Условием вихревого характера магнитного поля является нахождение рассматриваемой точки внутри пространства, заполненного источниками поля. Примером вихревого поля служит магнитное поле внутри проводника, по которому протекает ток. Вихревое поле должно удовлетворять уравнению:

rot Н = (4/c)j , (7)

В нашем случае вертикальных (радиальных) токов в сферических координатах r, ,  уравнение (7) примет скалярную форму:

Подставим в это уравнение значения Х и Y из формул (6) для внутреннего и внешнего поля, приписав в них коэффициентам и индексы Х и Y, чтобы различить, по какой компоненте они определены. В результате, будем иметь:

Если и , то найденное выражение равно нулю, что и должно быть при отсутствии вертикальных токов и при потенциальности поля. При наличии вихревой части поля окажется:

и .

Это дает возможность установить наличие или отсутствие вихревой (беспотенциальной) части в наблюденном поле, а при значительной разности в коэффициентах определить ее величину и вычислить плотность создающих ее токов. Если обозначить разность коэффициентов и ,то выражение для примет вид:

(8)

и, зная и , можно по уравнению (8) найти плотность тока в любой точке земной поверхности.