Рабочие программы / Физика Земли / (6 сем) Гравитационное и магнитное поля Земли / [ Шашканов ] Лекции по гравитации / 6 - Определение параметров фигуры Земли по движению искусственных спутников

Определение параметров фигуры Земли по движению искусственных спутников

Запуск искусственных спутников Земли, а позже и спутников других планет расширил возможности изучения гравитационного поля Земли. Спутник в силовом поле планеты движется с учетом характера этого поля. Так, в центральном и "однородном" поле спутник (а искусственный спутник, конечно, – материальная точка) будет двигаться по круговой и эллиптической орбите, сохраняя постоянными все элементы орбиты.

Один из способов изучения гравитационного поля планеты с помощью спутника есть наблюдение за орбитой спутника.

Положение и характер движения спутника однозначно определяется шестью элементами. Рассмотрим их (перечислим):

a – большая полуось орбиты

e – эксцентриситет орбиты

i – наклонение орбиты к плоскости экватора Земли

S – положение спутника на орбите

P – перицентр (перигей) – ближайшая к Земле точка орбиты спутника

 – точка весеннего равноденствия, т.е. точка, в которой эклиптика пересекается с экватором.

От точки  ведется счет долгот (На рисунке через нее проведен «меридиан весеннего равноденствия»).

– восходящий узел орбиты спутника.

За основную отсчетную плоскость при определении элементов орбиты спутников принимается плоскость экватора. Итак, i – наклонение орбиты к экватору.

 – долгота восходящего узла, т.е. угол, отсчитанный на плоскости орбиты от ее пересечения с меридианом весеннего равноденствия () и направлением O на восходящий узел орбиты спутника.

   + – долгота перицентра, где  – аргумент перицентра, т.е. угловое расстояние от восходящего узла .

T – время прохождения спутника через перицентр или θ – истинная аномалия – угол между большой осью (это ось, содержащая перицентр и, с другой стороны, свою большую половину) и "радиусом-вектором", т.е. вектором спутника.

Элементы  и i определяют положение плоскости орбиты спутника в пространстве.

Углы  или  определяют ориентировку главной оси орбиты по отношению к ее наклону.

T или  – положение спутника S на орбите.

При неоднородности поля Земли элементы орбиты спутника становятся непостоянными. Говорят – происходит "возмущение" орбиты под действием "возмущающей силы". Однако в каждый момент времени орбита может быть охарактеризована "набором" шести элементов. Пронаблюдав это движение и определив "наборы" для последовательных моментов времени, получим систему "оскулирующих" элементов.

При слабом возмущении орбиты система оскулирующих элементов будет изменяться медленно. Эти изменения называются возмущениями орбиты.

В небесной механике есть уравнения, связывающие скорости изменения элементов орбиты с самими элементами – уравнения Лагранжа:

Здесь b – малая полуось орбиты; ; S, T, W – проекции возмущающей силы на орты криволинейных координат: S – по радиусу, T – перпендикулярно S в плоскости орбиты, W – перпендикулярно мгновенной орбите.

Именно в этих исходных предпосылках и анализируется движение спутника.

Однако, проанализируем проблему в рамках уже знакомых нам представлений. Вспомним, что для гравитационного потенциала мы записали:

♥♥

Здесь первые два члена не зависят от долготы – это зональная часть потенциала, или зональные гармоники. Гармоники с – секториальные; гармоники с – тессеральные. Определение некоторых из этих гармоник возможно с помощью ИСЗ, поскольку отвечающие им "особенности" поля Земли, т.е. отличия поля от поля шара, должны (и будут) оказывать влияние на движение ИСЗ и отклонять, или, как говорят, "возмущать" орбиту ИСЗ от кеплерова эллипса.

Поскольку первый член в V – это потенциал центрального поля, то возмущение орбиты определяется всеми остальными членами. Значит, возмущающий потенциал P равен:

.

(P_З, P_С и P_Т – зональная, секториальная и тессеральная составляющие).

Зональная часть возмущающего потенциала будет:

(Здесь четные гармоники – с четным n – описывают особенности поля, симметричные по отношению к экватору; нечетные – несимметрию Южного и Северного полушарий).

Одна из трудностей в использовании ИСЗ для изучения гравитационного поля в том, что, кроме гравитационных возмущений, на ИСЗ действуют возмущающим образом и такие факторы: торможение атмосферы, притяжение Луны и Солнца, радиационное давление Солнца. Конечно, их учитывают введением соответствующих поправок, с учетом орбит спутников. Естественно, что спутники с низкими орбитами возмущаются в основном торможением атмосферы, с высокими – влиянием Луны и Солнца.

Движение спутника

Рассмотрим сначала невозмущенное движение: m, P(x,y,z), Z – ось вращения Земли.

Пусть точка P с массой m движется вокруг вращающегося тела с массой M, создающим центральное гравитационное поле. A =A(0,0,0).

В системе XYZ движение P может быть описано уравнениями:

Здесь .

Если проинтегрировать уравнения движения спутника, получим уравнение эллипса:

.

Здесь e – эксцентриситет орбиты, u – так называемый аргумент широты,  – угловое расстояние перигея от восходящего узла. Угол  = u –  – угловое расстояние спутника от перигея – истинная аномалия, ; a – большая полуось.

В этих обозначениях:

Связь координат спутника x, y, z с элементами орбиты может быть записана:

Из этих 5 уравнений координаты x, y, z определяются как функции угла  и постоянных , i, , a и e.

В реальном поле уравнения движения спутника станут:

Здесь X, Y, Z – компоненты возмущающего ускорения.

Ясно, что орбита теперь изменяется со временем. Ее элементы теперь называются мгновенными или оскулирующими. Вид оскуляции определяется видом и степенью нецентральности поля.

В общем виде решение этих уравнений невозможно, поэтому, учитывая малость X, Y, Z в сравнении с главным (центральным) полем, это делают методом последовательных приближений.

Впрочем, движение ИСЗ практичней рассматривать не в неподвижной системе координат, связанной с Землей, а в подвижной, связанной со спутником.

В этом случае возмущающее ускорение имеет составляющие: S – по радиусу – радиальная; трансверсальная – T – в плоскости орбиты перпендикулярно S; бинормальная – W – перпендикулярно мгновенной орбите.

Компоненты S и T лежат в плоскости орбиты и не изменяют ориентации плоскости орбиты в пространстве, т.е. наклона i и долготы  восходящего узла. Зато они изменяют радиус a орбиты и ее эксцентриситет, влияют на положение перигея.

Составляющая W перпендикулярна плоскости орбиты и вызывает: изменение наклона i и движение узла и перигея.

Отметим, что роль зональных гармоник в возмущении орбиты ИСЗ, в силу своей регулярности (спутник все время пересекает экватор и попадает опять в ту же ситуацию) гораздо больше, чем для секториальных и тессеральных, возмущения от которых – короткопериодические (доли оборота) и меньше по величине. (Амплитуды возмущений редко превышают 150 м).

Что дали ИСЗ к настоящему времени?

Анализ движения ИСЗ показывает, что в движении узлов и перигея есть часть, равномерно изменяющаяся во времени – так называемое "вековое движение" – и долгопериодическая часть, которая имеет период обращения перигея.

Из всех вековых изменений элементов орбиты наиболее важными являются два – вращение линий узлов и апсид (т.е. перемещение перигея по орбите), т.е. изменение  и . Эти изменения вызваны в основном второй зональной гармоникой I₂, хотя в целом – всеми четными гармониками. Определение I₂ позволило, в свою очередь, уточнить сжатие .

Нечетные гармоники I₃, I₅ … выражаются в долгопериодических изменениях элементов орбиты, которые обнаруживаются при постановке соответствующих наблюдений за ИСЗ.

Конкретные результаты: (четные гармоники):

10⁶ ·I₂ = 1082,86 ± 0,1

10⁶ ·I₄ = –1,03 ± 0,2

10⁶ ·I₆ = 0,72 ± 0,2

10⁶ ·I₈ = 0,34 ± 0,2

10⁶ ·I₁₀ = 0,5 ± 0,2

10⁶ ·I₁₂ = 0,44 ± 0,2

Нечетные гармоники:

10⁶ ·I₃ = –2,54 ± 0,09

10⁶ ·I₅ = –0,23 ± 0,16

10⁶ ·I₇ = –0,364 ± 0,30

10⁶ ·I₉ = –0,081 ± 0,28

Определение секториальных и тессеральных гармоник – задача еще более сложная: необходимо следить за накоплением в орбиты вкладов от более мелких (по масштабу на Земле и величине) особенностей поля. Значит, и сами измерения должны быть более точны, в частности, в координатах станций наблюдения. Это – дело будущего, хотя и реального.

Результаты наблюдений за ИСЗ

1. Определение фундаментальной гравитационной константы

Точность определения постоянной GM повышена на два порядка. Как это делается?

Уравнение движения ИСЗ:

(*)

Здесь мы считаем, что , – геоцентрический радиус-вектор, – вектор возмущающего ускорения (за нецентральность).

Исходя из того, что мала и к каждому конкретному моменту обычно хорошо учтена, можно в любой момент ненадолго считать движение спутника невозмущенным центральным, тогда интеграл энергии (решение уравнения (*) ) имеет вид:

,

где v – орбитальная скорость, h – аддитивная постоянная. Тогда, определив в двух точках и величины скоростей v₁ и v₂ движения спутника, имеем: , откуда:

2. Определение большой полуоси a_e земного сфероида

Эта задача решается с помощью геодезических спутников. Определяются высоты спутника (лазерные или радио-). Знание координат спутника в эти моменты позволяет уточнить величину a_e. Так, ныне погрешность определения a_e не превышает 2 см.

Задача Молоденского

(Нахождение фигуры физической поверхности Земли)

Решая проблему Стокса, мы находим «геоид».

Молоденский, Михаил Сергеевич (р. 1909 г., ум. (?) после 1974 г.) поставил задачу гравиметрического определения истинной, или физической (поверхности) фигуры Земли.

Проблема состоит из двух частей:

1. нахождение превышений геоида над сфероидом, т.е. определение величин ;

2. нахождение расстояний между геоидом и физической поверхностью Земли, т.е. ортометрических высот.

Считаем задачу определения фигуры геоида решенной. Остается вторая часть – определение ортометрических высот. (Грушинский, с. 69 -)

Чтобы получить высоту данной точки, прокладывают нивелирный ход от репера, высота которого над уровнем моря (геоида) известна. При любом методе нивелирования оно опирается на процедуру установки нивелира по уровню (по нормали). Рассмотрим ситуацию:

Высота точки B:

При небольших расстояниях и малых высотах нивелирования этот метод хорош. Однако на больших расстояниях появляются ошибки вследствие непараллельности уровенных поверхностей. Ясно, что сумма h_i от A до B зависит от пути нивелирования:

Значит, уверенности в величине AB нет.

Зато приращение потенциала, как известно, не зависит от пути и есть лишь функция точек:

По теореме о среднем:

.

Тогда высота места определяется:

, или в интегральной форме:

(ортометрическая).

Эта (так определенная) высота называется ортометрической высотой. Для ее вычисления нужно, помимо превышений h_i вдоль профиля нивелирования, измерять также величины g_i, а также знать g_ср вдоль BB′.

К сожалению, величину g_ср вдоль BB′ мы обычно не знаем. Зато знаем среднее нормальное значение _ср силы тяжести по линии BB′. Тогда величина

называется нормальной высотой места. Эти высоты вычисляются легко, и именно ими пользуются при всех геодезических работах. Отличие нормальных высот от ортометрических не превосходит на равнине нескольких сантиметров.

Ортометрические высоты задают расстояние точки B от геоида.

Если от физической поверхности Земли отложить нормально вниз нормальные высоты H_н, то попадем на квазигеоид, поверхность, близкую к геоиду, но не геоид. Квазигеоид на океанах совпадает с геоидом, на суше: на равнинах отстоит от него на несколько см, в горных областях с H ~ 5000 м и значительных аномалиях g_i может отстоять до 2 метров.

Практически ортометрических высот мы никогда не получаем, но только нормальные высоты, т.е. имеем дело всегда с квазигеоидом.

Расстояние между геоидом и квазигеоидом:

.

Упрощенно имеем:

.

Разности могут достигать нескольких сотен миллигал.

Например: возьмем . Тогда для H_н = 500 м получим  = 5 см.