Модель Ньютона
Земля имеет форму эллипсоида вращения, = const, и находится в равновесии для вращения со скоростью : если от полюса и экватора прорыть колодцы к центру Земли, то жидкость на дне колодцев (в центре Земли) будет находиться в равновесии.
На экваторе сила притяжения:
,
а на полюсе
,
где
– эксцентриситет.
Кстати:
сжатие
то есть e2 равно ~ удвоенному сжатию.
Отношение
:
.
Поскольку Земля – почти шар, то e << 1, и можно разложить:
.
Значение
gэкв
равно: ( X
– aц.б),
а центробежное ускорение составляет
1/289 часть от x
:
.
Тогда:
Отношение давлений в основаниях двух столбов жидкости (см. рис. выше) – в центре Земли – получится умножением отношения сил тяжести gp / gе на отношение радиусов b / a = 1 – . Условие равновесия примет вид:
Итак, ньютоновская Земля ( = const) при вращении со скоростью , как у Земли, должна иметь сжатие 1/231.
Кроме того, из (1) и (2) вытекает:
,
откуда:
–т.е.
относительная разность сил тяжести
равна сжатию.
Модель Гюйгенса (1629-1695)
Вся масса Земли сосредоточена в ее центре. Ускорения gp и gе равны:
Потенциальная
энергия тела массой m
на полюсе:
,
на экваторе:
.
Форма Земли определяется из условия равенства этих потенциальных энергий – поскольку Земля – эквипотенциальная поверхность:
,
(учтем:
)
или:
,
откуда
Разногласие между результатами Ньютона и Гюйгенса объяснил А.Клеро: если у Ньютона Земля – однородное тело, то по Гюйгенсу, вся ее масса сосредоточена в центре (отсюда – строго центральное поле силы тяжести в его рассмотрении).
Клеро заявил, что реальная Земля едва ли однородна (и уж конечно не гюйгенсова), поэтому действительное сжатие Земли должно быть по величине между результатами Ньютона и Гюйгенса. – И тогда встала задача определения геометрии и размеров Земли уже в предположении ее сжатости, т.е. сфероидичности (сфероидальности ) – это проблема определения величины большой полуоси a и малой полуоси b эллипсоида и определения эксцентриситета e:
Проанализируем проблему: "Ньютон-Гюйгенс" на примере современных данных
о ряде объектов Солнечной системы:
|
Название тела |
T |
ср,т/м3 |
1 , по Ньютону |
2, по Гюйгенсу |
ист (истинное) |
|
Земля |
23ч.56м.* |
5,5 |
1/230 |
1/576 |
1/298 |
|
Марс |
24ч.37м. |
3,9 |
1/174 |
1/434 |
1/230 |
|
Юпитер |
9ч.55м. |
1,3 |
1/9,4 |
1/23,5 |
1/14 |
|
Сатурн |
10ч.29м. |
0,70 |
1/5,1 |
1/12,8 |
1/11 |
|
Солнце |
25,4 сут. |
1,4 |
1/37500 |
1/93400 |
– |
* – сидерический период, т.е. измеренный относительно звезд.
В итоге, для всех планет имеет место: 1 > ист > 2 .
По близости истинного сжатия ист к 1 или 2 можно судить о степени «неоднородности» внутреннего строения планеты. Например, Сатурн, видимо, обладает разреженными верхними слоями, поскольку для него ист близко к 2 .
Итак, к концу 17 века проблема размера Земли расширилась идеей о необходимости подтверждения ее полярного сжатия. Уровень точности геодезических определений уже приблизился к необходимому для соответствующих подтверждений и оценок уровню.
В чем геометрическая (геодезическая) идея подобных измерений: можно ли прямыми наземными измерениями подтвердить (и тем более количественно оценить) факт сплюснутости Земли?
Рассмотрим эллипсоид вращения. Его ПЕРВЫЙ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ определяется следующим образом:
