Рабочие программы / Физика Земли / (11 сем) Методы геофизической разведки / [ Каштан ] Печатные лекции / 7 - Трансформации геофизических полей (теоретические аспекты)

Трансформации геофизических полей (теоретические аспекты)

Вспомним некоторые сведения из теории преобразований Фурье:

Пусть F(x) – практически любая непериодическая функция, Тогда:

, где

;

здесь  – пространственная частота; ее размерность:  = рад/м;

S() – комплексный спектр функции F(x).

Преобразование может рассматриваться и для двух и более переменных.

Теоремы о спектрах

Теорема сложения:

Если , то .

Теорема смещения:

Пусть, тогда .

Доказательство: .

Спектр производной:

Если, то .

Доказательство:

.

Но поскольку , следовательно:. Аналогично имеем для производных более высокого порядка:

и, в частности, для производной по параметру:

.

Спектральные представления производных гравитационного и магнитного потенциалов

Случай двухмерных аномалий (горизонтальный цилиндр):

.

Спектр:

.

Меняем порядок интегрирования:

.

Учтем, что для интеграла в квадратных скобках имеет место:

.

Опуская знак модуля при  в экспоненте (для удобства), имеем:

. ()

Принимая для плоскости наблюдений z = 0, получаем:

.

Применив теорему о спектре производной по параметру: , – можем из () получить: .

Сравнив его с () , имеем: и вообще: .

В частности, для плоскости наблюдений z = 0 имеем:

.

Учитывая теорему Пуассона, для Z-составляющей магнитного поля получим:

.

Для горизонтальных составляющих:

и соответственно:

.

Все это может быть перенесено и на случай трехмерных объектов (и вызванных ими аномалий).

Аналитическое продолжение аномалий

Значения потенциала и его производных, известные в некоторой области, не занятой возмущающими массами, могут быть найдены в области более широкой и, в том числе, внутри возмущающих масс, если там эти (потенциал и производные) функции сохраняют свою гармоничность (т.е. кроме особых точек или областей, где они теряют гармоничность).

Изучение пространственного распределения производных потенциала вне возмущающих масс и в окрестности особых точек позволяет получить ценные сведения для интерпретации аномалий.

Рассмотрим принципы аналитического продолжения – на примере продолжения в верхнее полупространство.

Пусть ось Z направлена вверх, Q₁ и Q₂ – две бесконечные плоскости , перпендикулярные оси Z.

На одной из них (на плоскости Q₁) зададим некую функцию U(x,y,z). Ни сама плоскость Q₁ , ни все пространство вверх от нее не должны содержать особых точек.

Для двухмерных возмущающих тел можно записать (на плоскости Q₁ – для прямой Q₁(x’,z’)):

,

а для прямой Q₂(x”,z”) на плоскости Q₂ :

.

Их спектры, соответственно (так же, как и при выводе формулы ()):

,

.

Поделив их одно на другое, получаем:

.

Здесь – частотная характеристика аналитического продолжения функции с уровня z’ на уровень z”.

Можно и наоборот: – с соответствующей характеристикой аналитического продолжения:

Учитывая полученные частотные характеристики, можно на основе теоремы о свертке (об интеграле свертки)¹ получить следующее окончательное выражение:

.

Это – интеграл Пуассона для перехода (пересчета поля) на верхний уровень.

_____________________________

Покажем на примере производных V_xz и V_zz (или компонент H и Z магнитного поля), что интеграл Пуассона справедлив и вообще для любых производных поля.

По теоремам:
О спектре производной:	О спектре производной по параметру:
.	.
и тогда, умножив () на i или , получим:
 i: .	i: .

Аналогично тому, как выведено выражение для V_z(x”,z”), имеем:

.

.

Для магнитного поля ­– по теореме Пуассона получаем:

.

.

В рамках спектрального анализа находит свое решение и задача выражения одних производных гравитационного и магнитного потенциалов через другие.Речь идет о возможности выражения соотношений типа: V_x  V_z.

Вспомним, что для двухмерных тел имеет место:

.

Спектр:

.

Изменяем порядок интегрирования, делаем замену: x –  = t, используем табличный интеграл

.

В итоге спектр имеет вид:

.

Вспомним также:

.

Сравнивая их, видим:

.

Записав это выражение для плоскостей Q₁ и Q₂ на нашем рисунке, т.е. для спектров S’() и S”() соответствующих функций, получим, аналогично прежнему случаю: (для V_z имели: ):

.

Отсюда опять получаем формулу:

.

Полагая плоскости Q₁ и Q₂ совпадающими (z” = z’), получим для одной плоскости:

.

Поместив начало координат в точку (x”,z”) и обозначая: x’  x , имеем:

.

Аналогичным образом выводятся следующие соотношения:

,

откуда, в итоге, получаем для компонент магнитных аномалий (опять случай вертикального намагничивания тел, создающих аномалию):

.

.

Оставим для самостоятельной проработки анализ проблемы конкретного, численного применения рассмотренных теоретических принципов аналитического продолжения полей и выражения одних производных через другие. Для аналитического продолжения в нижнее полупространство, в частности, обычно применяются:

формула Рейнбоу

формула Тсубои и Фусчиды, –

мы же продолжим рассмотрение задачи разделение полей.

Разделение полей как процесс частотной фильтрации

Итак, задача разделения полей равнозначна отделению полезного сигнала от различных помех.

Помехи сами по себе различаются по: интенсивности, форме, полосе «частот».

Они обусловлены причинами: особенности геологического строения региона, погрешности наблюдений, погрешности вычислений

Амплитудные спектры полезного сигнала и помех иногда различны, и существенно. Очевидно, что надо так трансформировать поле аномалий, чтобы сохранить спектральные составляющие от сигнала и при этом ослабить спектральные составляющие, характерные для помех.

Опять имеем о спектрах:

1. Высокочастотный спектр S₀() имеют: погрешности наблюдений и всякие мелкие геологические неоднородности.

2. Низкочастотный спектр S_Р(): региональный фон.

3. Промежуточные частоты S_Л() в спектре: «локальные» объекты.

В итоге можно схематично записать:

S()_трансф = ()[S₀()+S_Л()+S_Р()];

Здесь S()_трансф –спектр трансформированной аномалии, () – переходная частотная характеристика. Схематически эти спектры приведены на рисунке:

Вспомним полученные нами частотные характеристики:

1. Вычисление производной по параметру :

, отсюда: – частотная характеристика этой трансформации;

2. И вообще:

3. Для аналитических продолжений было получено:

,

где Н – высота переноса поля (подъема);

– частотная характеристика.

4. Аналогично для переноса поля вниз:

5. Частотная характеристика полосового фильтра:

При необходимости применяется полосовой фильтр (5). Фильтр (5) есть результат вычисления высших производных и аналитического продолжения вверх. Изменяя n и H , можно сильно изменять полосу пропускания и форму частотной характеристики. К сожалению, в выполнении подобных операций есть проблемы:

Два обстоятельства ограничивают практику подобного рода:

1. Ограниченность области, где функция (поле) измерена. 2. Дискретность измерений.

С ними борются применением приемов экстраполяции и интерполяции, соответственно, хотя и тут тоже есть свои проблемы.

1 Теорема о свертке (об интеграле свертки):

Имея функцию P() и смещенную на x функцию F₁(x – ), определим интеграл свертки следующим образом:

. Тогда из соотношений:

для F(x) 

для F₁(x-)  ,

для P()  естественным образом запишем: , где представляет собой спектральную характеристику перехода от F(x) к F₁(x-).