Рабочие программы / Физика Земли / (11 сем) Методы геофизической разведки / [ Каштан ] Печатные лекции / 6 - Трансформации геофизических полей с целью решения задач разведки

Трансформации геофизических полей с целью решения задач разведки

Разделение аномальных полей

Под трансформациями аномального поля следует понимать такие операции над ними, как:

1. – Сглаживание. 2. – Осреднение (графический метод). 3. – Аналитическое продолжение полей в верхнее и нижнее полупространства. 4. – Вычисление производных разного и различного (в смысле выбора осей координат) порядков.

5. – Повороты поля относительно исходной системы координат и т.д.

1. «Графический метод», или сглаживание. Пусть картина изоаномал– близка к системе параллельных линий, но усложнена местными особенностями

График усреднения поля вдоль одного из

профилей.

2. Осреднение

Среднее значение функции в круге радиуса R можно выразить интегралом:

или .

Покажем, что степень осреднения: , зависит: от радиуса осреднения; от глубины возмущающего объекта. Рассмотрим два шаровых тела.

Первый шар: глубина залегания центра шара h1 = 0,4 км, его радиус r1 = 0,3 км, избыточная плотность  = 1,0 г/см3. Максимум аномального поля на поверхности: (Vz)max = 4,7 мгл. При осреднении аномалии с разными радиусами R осреднения получаем: В радиусе R1 = 0,4 км  (Vz)ср1 = 2,8 мгл   = 60% от (Vz)max . В радиусе R2 = 1,0 км  (Vz)ср2 = 0,9 мгл   = 20% от (Vz)max . В радиусе R3 = 2,0 км  (Vz)ср1 = 0,3 мгл   = 7% от (Vz)max . Видим: степень осреднения  убывает с увеличением радиуса осреднения R. Второй шар: глубина залегания центра шара h2 = 2,4 км, его радиус r2 = 0,3 км, избыточная плотность  = 1,0 г/см3. Опять максимум аномального поля на поверхности: (Vz)max = 4,7 мгл. При осреднении его аномалии с радиусом осреднения R = 2 км получаем: В радиусе R = 2,0 км  (Vz)ср = 3,1 мгл  и, соответственно: = 60% от (Vz)max .

3.Аналитическое продолжение аномалий

В результате аналитического продолжения аномалий на основе экспериментальных данных, относящихся к поверхности измерений, получается распределение аномального поля во всем пространстве, не занятом возмущающими массами.

Опять сравниваем два шара: 1. Шар массой М на глубине  . 2. Шар массой n³М на глубине n .

Для них имеем: и , откуда: .

Если в качестве поверхности приведения выбрать плоскость на глубине залегания верхнего тела (H_– = , то есть аналитическое продолжение аномалии в нижнее полупространство), то получим:

и .

А поскольку n  1, то – конечная величина и, значит, поле первого шара (V_z)₁ при аналитическом продолжении вниз возрастает быстрее, чем поле второго шара (V_z)₂ . Значит, оно подчеркивает аномалии от неглубоких тел, по сравнению с глубокими. Если же, напротив, аномалии (V_z)₁ и (V_z)₂ продолжить вверх на высоту H₊ =  , то:

,откуда: .

Учитывая, что на первоначальной поверхности оно было равно n, а здесь, на высоте Н, оно оказалось большим ( n), видим, что аналитическое продолжение вверх подчеркивает региональная составляющая по сравнению с локальной.

Трансформации геофизических полей (теоретические аспекты)

Вспомним сведения из теории преобразований Фурье: Пусть F(x) – практически любая непериодическая функция, Тогда:

, где ;

здесь  – пространственная частота; ее размерность:  = рад/м; S() – комплексный спектр функции F(x).

Теоремы о спектрах

Теорема сложения: Если , то .

Теорема смещения: Пусть, тогда .

Док-во: .

Спектр производной: Если, то .

Доказательство: .

Но поскольку , сл-но:. Аналогично: Для производной по параметру:.

Спектральные представления производных гравитационного и магнитного потенциалов

Случай двухмерных аномалий (горизонтальный цилиндр):

.Спектр:.

Меняем порядок интегрирования:.

Учтем, что для интеграла в квадратных скобках имеет место:

.Опуская знак модуля при  в экспоненте (для удобства), имеем:

. () Принимая для плоскости наблюдений z = 0, получаем: . А так как производная по параметру: , –то можем из () получить: . Сравнив его с () , имеем: и вообще: . Для пл-ти наблюдений z = 0:. Учитывая теорему Пуассона, для магнитного поля получим:. Для горизонтальных составляющих: и: .

Аналитическое продолжение аномалий

Рассмотрим принципы аналитического продолжения – на примере продолжения в верхнее полупространство. Пусть ось Z направлена вверх, Q1 и Q2 – две бесконечные плоскости , перпендикулярные оси Z. На одной из них (на плоскости Q1) зададим некую функцию U(x,y,z). Ни сама плоскость Q1 , ни все пространство вверх от нее не должны содержать особых точек.

Для двухмерных возмущающих тел можно записать (на плоскости Q₁ – для прямой Q₁(x’,z’)):

, а для прямой Q₂(x”,z”) на плоскости Q₂ :

.Их спектры, соответственно (так же, как и при выводе формулы ()):

, .

Поделив их одно на другое, получаем:.

Здесь – частотная характеристика аналитического продолжения с уровня z’ на ур-нь z”.

Можно и наоборот: – с характеристикой аналитического продолжения:

Окончательное выражение: .

Это – интеграл Пуассона для перехода (пересчета поля) на верхний уровень.

Покажем на примере производных V_xz и V_zz, что интеграл Пуассона справедлив и вообще для любых производных поля.

По теоремам:
О спектре производной:	О спектре производной по параметру:
.	.
и тогда, умножив () на i или , получим:
 i: .	: .

Аналогично тому, как выведено выражение для V_z(x”,z”), имеем:

. .

Для магнитного поля ­– по теореме Пуассона получаем:

. .

В рамках спектрального анализа решается и задача выражения одних производных потенциала через другие: V_x  V_z.

.Спектр:.

(Изменяем порядок интегр-ния, заменяем: x –  = t,). Спектр становится: .

Вспомним также: .Сравнивая их, видим:.

Записав это выражение для плоскостей Q₁ и Q₂ на нашем рисунке, т.е. для спектров S’() и S”() соответствующих функций, получим, аналогично прежнему случаю: (для V_z имели: ):

.Отсюда опять получаем формулу:

.Полагая плоскости Q₁ и Q₂ совпадающими (z” = z’), получим для одной плоскости:.Поместив начало координат в точку (x”,z”) и обозначая: x’  x , имеем: .Аналогичным образом выводятся следующие соотношения:

,откуда, для магнитных аномалий (вертикальное намагничивание):

. .

Разделение полей как процесс частотной фильтрации

Опять имеем о спектрах:

1. Высокочастотный спектр S₀() имеют: погрешности наблюдений и всякие мелкие геологические неоднородности.

2. Низкочастотный спектр S_Р(): региональный фон.

3. Промежуточные частоты S_Л() в спектре: «локальные» объекты. В итоге можно схематично записать:

S()_трансф = ()[S₀()+S_Л()+S_Р()];

Здесь S()_трансф –спектр трансформированной аномалии, () – переходная частотная характеристика.

Вспомним полученные нами частотные характеристики:

1. Производная по параметру : , отсюда: – частотная характеристика.

2. И вообще:

3. Аналитические продолжения: , Н – высота подъема;

– частотная характеристика.

4. Аналогично для переноса поля вниз:

5. Частотная характеристика полосового фильтра:

При необходимости применяется полосовой фильтр (5). Фильтр (5) есть результат вычисления высших производных и аналитического продолжения вверх. Изменяя n и H , можно сильно изменять полосу пропускания и форму частотной характеристики. К сожалению, в выполнении подобных операций есть проблемы:

Два обстоятельства ограничивают практику подобного рода:

1. Ограниченность области, где функция (поле) измерена. 2. Дискретность измерений.

С ними борются применением приемов экстраполяции и интерполяции, соответственно, хотя и тут тоже есть свои проблемы.