Редукция в свободном воздухе

Смысл редукции состоит в том, чтобы произвести приведение наблюденных значений силы тяжести в точках A_i(H ≠ 0) к поверхности начала отсчета – точкеB_i (H = 0). При этом не принимается во внимание роль и влияние масс (если они есть) между уровнямиA_iиB_i.

Это редуцирование, зная градиент , произвести очень просто (было бы). Вся операция обеспечивает опускание (к примеру) значенияg изA_iвB_iс одновременным опусканием на столько же и всех масс (и их влияния наg)под уровеньB_i. В принципе, это и есть полная регуляризация, хотя, возможно, на антиподной точке Земли все массы настолько же вылезут наружу: но это далеко и мало влияет на наш анализ.

Учитывая принципиальный характер этой редукции, рассмотрим ее поподробнее, учтя даже эллипсоидальность Земли.

Так, для шаровой Земли: (H – высота ≡z,R– радиус Земли)

. Но– нормальное поле (для шара).

Тогда

–вертикальный градиентg.

Откуда , и для "высотного" приращенияgимеем:

.

Или, для   = 979773,R = 6371087в численном виде имеем:

g_H – g₀ = 0,3086 · H (мГал), гдеH– в метрах.

Учтем сфероидальность (эллипсоидальность) Земли. Уравнение Пуассона (случай произвольно выбранной точки наблюдения, т.е., в частности, и внутри объекта – эллипсоида):

 – плотность Земли.

Для нормального поля на его поверхности можно записать:

.

Уравнение Пуассона станет:

.

Перейдя к нормальному полю вне эллипсоида ( = 0)и выбрав оси координат в плоскостях меридиана и первого вертикала (меридианной), получаем:

,20

где M – радиус кривизны меридианного, аN – первовертикального сечений.

Из дифференциальной геометрии имеем:

, (– широта "места").

А радиус кривизны Nопределится как:

, где– радиус кривизны параллели (сечения, отвечающего широте и параллельного экватору).

Тогда

.

Подставляем эти выражения для MиNи, сохраняя величины порядка сжатия, имеем:

.

Подставив , a, e(числа), получим выражения для "поправки за свободный воздух":

(мГал).

H– в метрах. Эллипсоидальность учтена здесь учетом широты.

Редукция в свободном воздухе, итак, учитывает изменение нормальной силы тяжести с высотой. Приближенно она такова же и для реального поля.

Реально изменение g с высотой равно приблизительно 1 мГал (1 мГл) на 3 м высоты. Отсюда вытекают требования к точности определения высот при гравитационной съемке.

Рабочая точность для g не ниже±0,01 мГл. Для того, чтобы ошибки определения высот не искажали смысла гравиметрических измерений, требуется определять высоты с точностью±0,03 м (либом). Такая точность, бесспорно, обременительна, особенно при массовых гравиметрических определениях.

Поправка за рельеф местности

Это вторая обязательная (при проведении работ по схеме Стокса) поправка по исправлению гравиметрических данных.

Совместно выполненные – редукция в свободном воздухе с добавлением поправки за рельеф местности, – носят названиередукции Фая, илиГельмерта.

Поправка за рельеф местности имеет целью учесть влияние притяжения всех форм внешнего рельефа и привести значение силы тяжести в данной точке к такому, которое было бы, если бы под точкой располагался (в ближайшей ее окрестности) ровный слой масс, без выступов и впадин.

Поправка за рельеф местности всегда увеличивает наблюденное значение силы тяжести независимо от того, находятся ли вблизи исследуемой точки возвышенности или, наоборот, впадины. Как наличие избыточных масс "сверху", так и недостаток их "снизу" в равной мере уменьшают силу gотносительно того значения ее, которое должна бы иметь эта величина в случае равномерного заполнения всей области массами, "снятыми" сверху и "заполнившими" углубления.

Введение поправки за рельеф обязательно при любых редукциях, поскольку уж слишком ее смысл очевиден.

Замечание.Влияние рельефа, казалось бы, распространяется и на форму геоида. Однако, будучиблизкик измерителю, они могут сильно влиять на результаты данных поg, но до геоида это влияние, за дальностью, не доходит на деле. Поэтому и требуется коррекция результатов измерений.

Для учета влияния рельефа применяют способы:

1. разбиение местности на участки-призмы, усредненные по ряду параметров, – и учет влияния их по отдельности;

2. представление местности в виде наклонной плоскости и учет влияния такого клина;

3. введение поправки по характерным точкам.

Охарактеризуем эти способы.

I. "Разобьем" все окружающее пространство на цилиндрические пояса и рассмотрим часть одного из них – призмуabcdefig. Оценим притяжение, создаваемое этой призмой в точкеO. Высота призмы –H, внутренний радиус –a₁, внешний –a₂. Для того, чтобы определить притяжение от кольца в целом, надо сосчитать разность действия цилиндров радиусовa₂иa₁. Не вдаваясь в геометрию, имеем (см. Груш., Б., с. 253):

Если точка O(точка наблюдения) лежит на верхней грани призмы, тоz₂ = 0, и имеем

.

Если наша призма есть 1/nчасть всего кольца, то делим наn:

21

Здесь z₁, очевидно, глубина, до которой "учитывается" рельеф.

Рельеф в целом учитывается так:

а) разбиваем местность по топографической карте на криволинейные (цилиндрические) призмы по оптимальной схеме. По формуле 21рассчитываем их притяжение_ig;

б) полученные _igскладываем.

Обычно используются палетки – их накладывают на гипсометрическую карту центром в исследуемую точку. Для каждой трапеции оценивается средняя высота места, т.е. толщина (z₂ – z₁) и высота точки над призмой –z.

Замечание:Если высота точки наблюденияz₁≠ 0 иz₂≠ 0, то21есть:

.

Полная поправка по палетке:

.

Влияние рельефа убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, так что далекие формы рельефа учитывать уже не надо. Да и практически вводить их надо только для сильно всхолмленной и горной местности.

II. Второй способ основан на применении формулы:, дающей вертикальную компоненту притяжения масс, заключенных в "цилиндрическом" клине с горизонтальной нижней гранью. Такой расчет выгоден для:

1. ровной, но наклоненной в одну сторону местности,

2. в случае двустороннего ската

3. в случае седловины и ряда других рельефов.

Практически, и здесь уже разработаны системы таблиц, номограмм.

III. Поправки по характерным точкам вводятся выбором на местности наиболее значимых форм рельефа, оценкой их влияния и последующей интерполяционной схемой учета всего промежуточного рельефа (по линейному или гиперболическому закону, например). Здесь опять активно пользуются таблицами и номограммами.