Рабочие программы / Физика Земли / (11 сем) Методы геофизической разведки / [ Каштан ] Печатные лекции / 3 - Магнитный потенциал и его связь с гравитационным потенциалом

26

Магнитный потенциал и его связь с гравитационным потенциалом

Запишем магнитный потенциал произвольно намагниченного тела:

.

Ограничиваясь случаем однородного намагничивания, т.е. случаем J = const (по величине и направлению), можем переписать выражение для потенциала:

= ;

здесь l – направление вектора J.

Вспомним, что гравитационный потенциал V этого же тела, если плотность его равна  , и постоянна для всего тела, равен:

,

то для такого однородно намагниченного тела имеем:

– Теорема Пуассона.

Таким образом, магнитный потенциал U однородно намагниченного тела с точностью до постоянного коэффициента равен производной гравитационного потенциала этого же тела, взятой по направлению намагниченности. Это теорема Пуассона. Иногда эта теорема может быть испол зована в магниторазведке при решении прямой задачи. В частности, в важном случае вертикального намагничивания имеют место следующие соотношения:

,

.

Здесь – вторые производные гравитационного потенциала.

Магнитный потенциал. Связь гравитационного и магнитного потенциалов

При рассмотрении магнитного потенциала необходимо учитывать дипольный характер источников магнитного поля. Только в случае, когда один из концов сплошного вертикально намагниченного тела находится столь глубоко, что можно считать его бесконечно удаленным, можно говорить о «чисто магнитных массах m»; тогда основные формулы для гравитационного и магнитного потенциалов совпадают.

Потенциал элементарного магнита (диполя)

P(x,y,z)

r₂ r₁

r



-m dl + m

Для магнитного момента диполя имеем: dM = mdl.

Потенциал диполя в точке Р равен сумме потенциалов обеих масс:

.

Считая расстояние r конечным, а dl – бесконечно малой величиной, имеем: r  dl , и тогда: и , откуда получаем:

.

Учитывая, что для магнетика в целом имеет место: dM = Jdv, а наш диполь есть часть намагниченного тела, принимаем это верным и для него, тогда:

.

Учтем, что векторы J и r – два произвольно сориентированных в пространстве вектора с соответствующими направляющими косинусами:

Их скалярное произведение, с одной стороны (см. рис. выше): , откуда, с другой стороны, можно записать:

.

Учитывая соотношения вида: , имеем:

.

Кроме того, очевидно (можно проверить дифференцированием по ): .

Теперь: .

Принимая намагниченность тела однородной, для магнитного потенциала имеем:

.

А так как при (однородное по плотности тело) имеем: , то выражение для потенциала примет вид:

.

Учитывая соотношения:, перепишем:

.

Располагая прямоугольные координатные оси таким образом, чтобы одна из осей (назовем ее l) совпадала с направлением намагниченности J тела так, что , а два других косинуса станут равны нулю, для потенциала получаем:

. – Опять Теорема Пуассона (без знака “–“).