Аналитическое представление магнитного поля земли

Представление магнитного поля с помощью сферических гармонических

функций

Магнитное поле Земли как поле однородно намагниченного шара. Одной из первых задач при изучении магнитного поля Земли является представление его в виде аналитической зависимости компонент напряженности от пространственных координат точек земной поверхности или околоземного пространства. Такое представление есть просто физическая аналитическая задача и возможно, когда известны причины, вызывающие магнитное поле, или если известно (из наблюдений) распределение элементов земного магнетизма по поверхности Земли. Зная же функциональную зависимость элементов земного магнетизма от координат точки, можно решать целый ряд задач научного и практического характера. Первой попыткой такого представления была работа профессора Казанского университета И. Симонова, появившаяся в 1835 г. В этой работе И. Симонов, основываясь на результатах наблюдений того времени, высказал предположение, что магнитное поле Земли является полем однородно намагниченного шара, магнитная ось которого проходит через центр земного шара. Таким образом, и решение поставленной задачи заключается в нахождении поля(как функции координат) для однородно намагниченного шара, что и было сделано И. Симоновым. Несмотря на свою давность, работа И.Симонова не утратила своего значения и в настоящее время, так как большая часть магнитного поля Земли действительно является полем однородно намагниченного шара, и поэтому при рассмотрении многих вопросов мы до сих пор принимаем земной шар намагниченным однородно. Ранее (с помощью теоремы Пуассона) было показано, что потенциал однородно намагниченного шара в точке P выражается уравнением: U=(M/r²)cos , где  – угол между осью магнита OQ и направлением радиуса вектора ОР = r;

при этом ось шара (ось вращения Земли) ON составляет с магнитной осью OQ угол 90 –_o (рисунок).

Соединяя точки Р, Q и N дугами больших кругов, из сферического треугольника PQN можем найти cos = sin sin_o + cos cos_o cos( – _o), где  и  – широта и долгота точки Р, а (_о и  – широта и долгота точки Q, и, следовательно, U= (M/r²)[sin sin_o + cos cos_o cos( – _о)]. Магнитный момент M можно выразить через объем и намагниченность J по формуле М = (4/3)R³J, где R – радиус шара.

N

Q N

S Q 









Введем следующие обозначения:

(1)

тогда получим:

(2)

Так как дуга NP большого круга является меридианом точки Р, то составляющая в направлении PN будет не что иное, как северная составляющая X, а составляющая в направлении дуги SP малого круга – восточная составляющая Y и, наконец, составляющая в направлении радиус-вектора r – вертикальная составляющая Z. Поэтому

Дифференцируя выражение (2) по ,  и r и полагая r = R_E (так как точка Р лежит на поверхности Земли), получаем для составляющих магнитного поля следующие значения:

где – некоторые постоянные коэффициенты, не зависящие от положения точки Р на поверхности Земли, _о и _о представляют координаты точки пересечения магнитной оси с поверхностью земного шара. Если за начальный меридиан принять меридиан, проходящий через эту точку, то _о=0 и на осно­вании формулы (81) = 0, поэтому составляющие земного поля выразятся следующим образом

Если же ось координат совместить с магнитной осью, то X, Y и Z примут вид

или:

Для магнитного экватора, где _m=0, Z=0, Н = Н_Т =М/R³. Для магнитных полюсов, где _m=90^о :

Н = 0 ;

Z = H_T =  2M/R³ .

Отношение Z/H представляет собой тангенс угла наклонения j, поэтому, разделив уравнения (86) одно на другое, получим:

tg j = 2tg _m ,

т. е. тангенс угла наклонения в два раза больше тангенса магнит­ной широты.

Хотя отличия значений элементов земного магнетизма, вычисленных по этим формулам, от действительных для некоторых точек оказываются очень значительными, однако в целом совпадение таково, что можно в первом приближении считать гипотезу однородного намагничивания Земли справедливой. Так, например, величина полной напряженности поля на магнитном экваторе примерно в два раза меньше, чем на магнитном полюсе (на полюсе Н_Т = 0,65 Э, на экваторе Н_Т  = 0,35 Э). Поскольку же поле однородно намагниченного шара тождественно полю диполя, расположенного в ее центре, то магнитное поле Земли в первом приближении можно принять за поле диполя.

Итак, в первом приближении имеем магнитное поле однородно намагниченного под углом 11^о,5 к оси вращения Земли шара. Магнитный момент Земли равен 8,3 · 10²² А·м². В магниторазведке обозначают: вектор индукции –Т. (В геомагнетизме – В_Т).

–индукция постоянного поля, т.е. главное магнитное поле Земли, причем:

.

Для из интервала 10² – 10⁴ с амплитуды колебаний поля максимальны, но и они не превышают 1% от .

Согласно Гауссу, для магнитного поля Земли, которое вызывается исключительно внутренними источниками потенциального характера, т.е. когда , для геомагнитного скалярного потенциала в точке с координатами :r, – сферическими – имеем:

,

где R – радиус Земли, – коэффициенты Гаусса, – присоединенный полином (функция) Лежандра степениn и порядка m .

Согласно Гауссу, для магнитного поля Земли, которое вызывается исключительно внутренними источниками потенциального характера, т.е. когда , для геомагнитного скалярного потенциала в точке с координатами :r, – сферическими – имеем:

,

где R – радиус Земли, – коэффициенты Гаусса, – присоединенный полином (функция) Лежандра степениn и порядка m .

На поверхности Земли имеем:

,

откуда для компонент поля получаем:

Первый член разложения Гаусса (n = 1) – это потенциал однородно намагниченного шара, т.е. потенциал для магнитного диполя. Следующие члены разложения – мультиполи.

Знание коэффициентов Гаусса позволяет выразить величину магнитного диполя Земли:

,

а также значения географических координат _о и _о геомагнитных полюсов:

.

Зная координаты _о и _о , можем перейти к геомагнитным координатам. Формулы перехода:

,

где _о и _о – географические координаты точки наблюдения,

_m и _m – магнитные координаты точки наблюдения.

Подобный же анализ возможен и для потенциального поля внешних источников:

;

здесь r – “радиус” места расположения внешнего источника.