Рабочие программы / Вычислительная физика / (8 сем, 6 сем для ПМФ) Теоретические основы методов компьютерного моделирования / Вопросы и литература

Теоретические основы методов компьютерного моделирования. 4й курс, весенний (8й) семестр

2008 год

Материал экзамена:

1.Абстрактная задача минимизации. Вариационные равенства.

2.Абстрактная вариационная задача. Лемма Лакса-Мильграма.

3.Пример краевой задачи второго порядка.

4.Методы аппроксимации. Метод Ритца. Метод Галеркина.

5.Ортогональность ошибок. Лемма Cea. Сходимость дискретных решений.

6.Основные этапы применения метода конечных элементов (МКЭ).

7.Одномерный МКЭ. Лагранжевы элементы, Эрмитовы элементы, иерархические элементы.

8.Пример одномерного МКЭ для краевой задачи.

9.Одномерный МКЭ. Ошибки интерполяции.

10.Многомерный МКЭ. Основные этапы использования МКЭ.

11.Лагранжевы элементы в треугольнике.

12.Лагранжевы элементы в прямоугольнике.

13.Многомерный МКЭ. Иерархические элементы.

14.Трехмерные элементы.

15.Многомерный МКЭ. Ошибки аппроксимации.

16.Методы триангуляции в МКЭ.

17.Координатные преобразования.

18.Априорные и апостериорные оценки погрешностей.

19.Адаптивное уточнение решений. h-, p-, и hp-уточнение.

20.Метод граничных элементов.

Литература к экзамену:

Основная:

1.Сьярле Ф., Метод конечных элементов для эллиптических задач [Мир, 1980].

2.Flaherty J.E., Finite element analysis [Renssellaer lecture notes, 2000].

3.Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Vol.1. The finite element method. The basis [2000].

4.S.L. Yakovlev, E.A. Yarevsky, Numerical methods for the partial differential equations. St. Petersburg, 2007.

Дополнительная:

1.Митчелл А.Р., Уэйт Р., Метод конечных элементов для уравнений с частными производными [Мир, 1981].

2.Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л., Метод конечных элементов и САПР, Мир,

1989.

3. Solin P. Partial Differential Equations and the Finite Element Method (Wiley, 2005).

Практическая работа

предполагает анализ и решение одномерной краевой задачи второго порядка с помощью МКЭ. Задается сама задача и конкретный МКЭ, которым она должна быть решена.

Отчет по работе должен включать исходную формулировку задачи, сведение её к вариационной задаче и соответствующую дискретную задачу. Численные результаты должны включать зависимости погрешности от числа элементов для функции и производной в непрерывной норме и норме L2. (Наиболее естественным выглядит график в двойном логарифмическом масштабе). Вычисления могут быть проделаны с помощью любого языка программирования по вашему выбору, или с использованием системы типа MATLAB или подобной ей. Отчет должен также содержать (основной) код программы.

Отчет может быть кратким, но должен при этом быть ясным и самодостаточным.