Глава 9. Тормозное излучение

Тормозным обычно называют излучение, возникающее при пролете одной заряженной частицы мимо другой (столкновении двух частиц), если налетающая частица после соударения остается свободной - не захватывается второй частицей. Поэтому в астрофизике переходы, сопровождаемые испусканием квантов тормозного излучения, носят название свободно-свободных переходов, в отличие, например, от свободносвязанных (рекомбинационных) переходов, которые ведут к захвату электрона ионом.

При столкновениях частиц с существенно различной массой (электрона и иона) более тяжелую частицу можно считать неподвижной. Тогда тормозное излучение возникает за счет потери энергии электрона. Энергия испускаемого кванта заведомо не превышает на­чальной кинетической энергии электронаe_kin. Это ограничивает широкий спектр тормозного излучения максимальной частотой w_max:

. (9.1)

Максимальное изменение De кинетической энергии электрона в кулоновском поле иона наступает в момент наибольшего сближения частиц на расстояние r_min~ r, где r — прицельный параметр при столкновении (прицельный параметр — наименьшее расстояние, на которое приблизились бы взаимодействующие частицы при условии сохранения прямолинейности своих траекторий).

На расстоянии r_min потенциальная энергия электрона в кулоновском поле иона с зарядом Ze составит Ze²/r_min. Если изменение потенциальной энергии De~ Ze² / r_min станет сравнимым с исходным значением кинетической энергии e_kin, то это определяет "эффективные" столкновения, в которых:

~~~. (9.2)

Это соотношение записано для нерелятивистского электрона с начальной скоростью .

Расчет тормозного излучения нерелятивистского электрона, дви­жущегося по "классической" траектории со скоростью , суще­ственно упрощается на низких частотах, удовлетворяющих условию:

, (9.3)

где тормозное излучение становится дипольным: длина электромагнитных волн этих частот велика по сравнению с характерными размерами системы "электрон-ион" в момент столкновения (~r_min). Ясно, что энергия излучения будет зависеть от ускорения электрона в поле иона. В итоге спектральная энергия, излученная в единичном интервале частот при одном столкновении, будет равна (см., например, Теория поля Ландау и Лившица):

. (9.4)

Здесь - фурье-компонента разложения дипольного момента си­стемы "электрон-ион" . Заметим, что в изотропной среде с показателем преломления n(w) энергия тормозного излуче­ния в дипольном приближении на фактор n(w) отличается от за­данной формулой (9.4). В магнитоактивной плазме выражения для e_w становятся более сложными.

Из формулы (9.4) следует, что при столкновении двух одинаковых нерелятивистских частиц (скажем, двух электронов) дипольного тор­мозного излучения не возникает. Дипольный момент системы из двух электронов есть , где — радиус-вектор центра масс системы. Если на последнюю внешние силы не действуют, то =0 и =0. Вот почему для нерелятивистских частиц имеет смысл говорить глав­ным образом о тормозном излучении при столкновениях разных частиц и, прежде всего, электронов и ионов (или ядер). В то же время тормозное излучение при взаимодействии тяжелых частиц тоже будет слабым - из-за малости ускорения, испытываемого ими при ударе.

Спектральная энергия тормозного излучения существенно зависит от величины прицельного параметра q. В то же время при решении конкретных проблем излучения космической плазмы обычно предста­вляет интерес не излучение при соударениях двух частиц, а излу­чение целого ансамбля частиц, испытывающих соударения с различными прицельными параметрами. Поэтому с точки зрения прило­жений важно знать не e_w, а эффективную спектральную мощность излучения - результат усреднения e_w по различным значениям при­цельного параметра:

. (9.5)

Нетрудно видеть, что представляет собой спектральную мощность тормозного излучения потока частиц (с единичной плотностью по­тока) при соударениях с одной фиксированной частицей.

Проведем приближенный вывод соответствующих формул, используя приближение далеких прохождений электрона, когда его траектория лишь слегка отклоняется от прямой. Для тормозного излучения разреженной плазмы в радиодиапазоне эти приближения дают удовлетворительную точность.

Обозначим через величину электрического поля излучаемой волны. Ее компонента, соответствующая излучению с частотой, получается разложениемв интеграл Фурье:

.

В предельном случае низких частот можно полагать 2pft<<1 и тогда:

.

Отсюда следует, что не зависит от частоты. Используем векторный потенциал:

.

Тогда:

,

где есть изменение векторного потенциала за время пролета электрона в поле иона. Пусть R – радиус сферы, за пределами которой ускорением электрона можно пренебречь. и - значения на границах сферы. Используем известное соотношение , где- скорость электрона. Тогда имеем:

.

Рис. 9.1 Пояснение обозначений к пролету электрона относительно иона.

Определим теперь изменение скорости электрона, используя приближение слабого отклонения его траектории от прямой. Ускорение электрона в поле иона с зарядом Ze:

, (9.8)

где - прицельное расстояние. Время взаимодействия электрона с ионом приближенно вычислим исходя из того, что эффективное взаимодействие происходит на отрезке пути, то есть равно . Тогда имеем из (9.8):

,

или:

.

Заметим, что как вектор , так и векторлежат в плоскости, проходящей через ион и траекторию электрона. Поэтому излучение одного элементарного акта столкновения линейно поляризовано.

Пусть - компонента вектора поперечного электрического поля для излучения идущего под угломк линии минимального расстояния от иона до траектории электрона (так как векторнаправлен приблизительно по радиусу).- полная плотность энергии в этой волне (соотносит плотность энергии к единичному телесному углу). Поток электромагнитной энергии через сферу радиусаR во всех направлениях при одном столкновении . Двойка учитывает две компоненты и. Тогда, учитывая, что, получим:

.

Для вычисления коэффициента излучения необходимо проинтегрировать эту формулу по всем зарядам с разными и. Для коэффициента, рассчитываемого на единичный телесный угол, теперь имеем:

,

где - функция Максвелла. Здесь учтено, чтоесть число столкновений в единицу времени с предельным расстоянием отr до r+dr и со скоростью . В результате имеем:

,

где . () (9.9)

В рамках рассмотренного здесь приближенного расчета можно дать следующую оценку параметров и. Заметим, что точное определение их значений не очень существенно, поскольку они входят в (9.9) под знак логарифма. Траектория электрона мало отличается от прямой, если его кинетическая энергия много больше потенциальной.. Возьмемтаким, где кинетическая энергия электронов () порядка потенциальной:

.

Максимальная частота излучения определяется длительностью импульса (частота Найквиста), то есть (вспоминая, что ) . Отсюда. Более точный расчет приводит к появлению под знаком логарифма добавочных численных множителей близких к единице:

, где .

При больших скоростях (высоких температурах) параметр уменьшается. Однако на очень малых прицельных расстояниях следует учитывать квантомеханические эффекты. Таким образом, прицельные расстояния снизу ограничены длиной волны де Бройля: . В итоге получаем:

(9.10)

Формулу (9.10) следует применять, если:

Надо подчеркнуть, что во всех приведенных в этом разделе фор­мулах не учитывалось влияние окружающей среды (плазмы) на тор­мозное излучение. Это влияние имеет двоякий характер. С одной стороны, присутствие плазмы меняет вид электростатического поля: потенциал иона (или ядра) существенно отличается от кулоновского и резко убывает по величине на расстояниях r > D от данного заряда (дебаевское экранирование). Это экранирование, очевидно, не изменит приведенных результатов, если дебаевский ра­диус D>>r_min, определенного формулой (9.2). В случае r_min > D оценку можно получить, положив верхний предел интегрирования по прицельным параметрам в (9.5) равным D. Для точного расчета тормозного излучения в этом случае необходимо заново рассчитать e_w с учетом дебаевской формы потенциала заряженной частицы в плазме. С другой стороны, отличие показателя преломления в плазме от единицы меняет спектр тормозного излучения. Это изменение легко учесть, если плазма изотропна, а тормозное излучение имеет дипольный характер: спектр будет ограничен снизу (w>w_L), а мощность излучения равна вакуумному значению, умноженному на показатель преломления электромагнитных волнn(w).