4_Konspekt / Lekciya 8

Лекция 8

ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА И АКУСТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПЬЕЗОИЗЛУЧАТЕЛЯ

В пьезоэлектрической среде связь между электрическими и механическими величинами, выражается с помощью уравнений пьезоэффекта, и приводит к взаимодействию упругих и электромагнитных волн.

При анализе распространения волн в пьезоэлектрике в принципе нужно решать одновременно уравнения Ньютона и Максвелла. Решения представляют собой смешанные упру-

го-электромагнитные волны, то есть упругие волны со скоростью cзв , сопровождаемые элек-

трическим полем, и электромагнитные волны со скоростью распространения с 105 cзв , со-

провождаемые механической деформацией.

Для первого типа волн можно пренебречь магнитным полем, которое создается пере-

менным электрическим полем, перемещающимся со скоростью cзв , малой по сравнению со

скоростью электромагнитных волн. Тогда согласно уравнению Максвелла

rot E = −∂B∂t 0 ,

и электрическое поле E выражается, как в электростатике, через скалярный потенциал Φ,

т.е. E = −grad Φ. В результате оценки показывают, что электромагнитная энергия пренеб-

режимо мала по сравнению с упругой энергией. Для второго типа волн упругая энергия оказывается пренебрежительно малой по сравнению с электрической.

Таким образом, даже в сильных пьезоэлектриках взаимодействие между упругими и электромагнитными волнами оказывается весьма слабым из-за большой разницы соответст-

вующих скоростей сcзв 105 . Следовательно, распространение волн можно рассматривать без учета электромагнитных эффектов, в предположении, что поле является электростатическим, то есть в квазистатическом приближении.

Из уравнения пьезоэффекта имеем:

Tij =CijlmE Slm −epij Ep .

После подстановки выражения для тензора деформации получим

Slm =(12)(∂ul ∂xm +∂um ∂xl )

и для пьезостатического электрического поля —

Ep = −∂Φ∂xp .

В результате с учетом симметричности Slm можно записать

Tij =cijlmE ∂ul ∂xm +epij ∂Φ ∂xp .

Из уравнения Ньютона

∂Tij ∂xj =ρ∂2ui ∂t2 ,

после подстановки выражения для Ti j будем иметь

Уравнения (1) и (3) описывают распространение упругих волн в пьезоматериале. Ре-

шая эту систему с соответствующими начальными и граничными условиями для u и E , можно описать распространение упругих волн в пьезоэлектриках.

Эквивалентная схема пьезопреобразователя

Пьезоэлектрический преобразователь представляет собой систему, в которой электрические и механические характеристики взаимосвязаны. Изменение механической нагрузки на преобразователь изменяет его электрические параметры, и наоборот, электрическое шунтирование преобразователя влияет на его механические свойства.

Если рассматриваются продольные или толщинные колебания преобразователя, то можно использовать эквивалентную схему в виде шестиполюсника, соответствующая наличию у преобразователя двух механических и одной электрической пары выводов,

В широком интервале частот эквивалентную схему преобразователя в форме пластины можно представить в виде

Здесь введены следующие обозначения:

Z0 =ρпCnSn ; C0 =εSn l ; Cn = E (1−υ)ρ(1+υ)(1−2υ);

размерный коэффициент трансформации электромеханического трансформатора:

Схема, построенная на основе анализа уравнений механических колебаний преобразователя в одномерном приближении с учетом влияния электрического поля.

Наличие элемента « −C0 » — отрицательной емкости, отражает включение формально вводимого и не имеющего физического смысла импеданса Z0 = −1/ iωC0 . Описанную вы-

ше схему можно анализировать как электрическую, постоянная сила поджимающая преобразователь не учитывается.

Если преобразователь нагружен только с одной стороны, а сила на другой стороне равна нулю, то на схеме это отражается замыканием одной пары механических контактов. Возбуждающая сила оказывается приложенной ко второй паре и компенсируется инерционной силой колебаний преобразователя.

Приведенную схему удобно использовать в следующих случаях:

а) анализа сигналов пьезопреобразователя, работающего в импульсном режиме, когда существенна роль переходных процессов;

б) анализа режима нерезонансного возбуждения, когда излучается спектр собственных колебаний объекта в широкой полосе частот.

Первый случай характерен для УЗ-дефектоскопии, когда осуществляется ударное возбуждение пьезоизлучателя короткими импульсами. Второй — используется в спектроскопических методах.

Режим работы пьезопреобразоват в качестве резонатора

Рассмотрим работу пьезопластины в качестве резонатора.

Эквивалентную схему пластины в этом случае можно получить, закоротив два механических выхода общей эквивалентной схемы. Здесь введены обозначения

Пересчитаем Zэ в первичную обмотку. В соответствии с законом сохранения энергии можно записать U12 I12 =U34 I34 , следовательно,

U34 U12 = N , I12 I34 = N

Учитывая, что U34 = ZэI34 , получим

тогда Zэ′ = Zэ / N 2 .

Окончательно входной импеданс преобразователя определяется как

1Zвx =iωC0 +1(Zэ′ −1iωC0 )=iωC0 +iωC0 (iωC0Zэ′ −1).

Отсюда

Zвx =(1iωC0 ) (iωC0Zэ′ −1) iωC0Zэ′ =(1 iωC0 ) (Zэ′ −(1iωC0 ))Zэ′ =

=(1iωC0 ){1−(2N 2ωC0Z0 ) tg(ωl2cD )}.

Далее, можно записать

2N 2ωC0Z0 = 2N 2 (l / 2cD ) C0Z0 (ωl / 2cD ) =

=(N 2lC0Z0cD ) 1 (ωl / 2cD ) = K 2(ωl / 2cD ),

где через K 2 обозначен квадрат коэффициента электромеханической связи

В результате всех преобразований получим, что

Zвx =(1iωC0 ){1− K 2 tg (ωl2cD )(ωl2cD ) }.

Таким образом, Zвx зависит от ω. При малых (ω→0) Zвx имеет емкостной характер

Y =1Zвx ={iC0ω ωl 2cD − K 2 tg (ωl 2cD ) } (ωl2cD ),

На рисунке показана зависимость адмитанса от частоты.

Первая антирезонансная частота равна

ω(a1) = πcD l .

После подстановки в (5) получим

Определив экспериментально частоту антирезонанса ω(a1) = 2πfa(1) , можно рассчитать ско-

рость распространения звука в пьезоматериале: cD = 2l fa(1) .

Далее, зная первую резонансную частоту, можно согласно (6) определить квадрат коэффици-

ента электромеханической связи K 2 :

K 2 =(π2) (f p(1) fa(1))ctg (π2) (f p(1) fa(1)) =

=(π2) (f p(1) fa(1))tg{(π2) (fa(1) − f p(1)) fa(1) } (π2 4) (fa(1) − f p(1)) f p(1) ,

причем

∆f f р(1) =(fa(1) − f p(1)) f р(1) 1.

Эквивалентная схема пьезопреобразователя вблизи резонансной частоты

Покажем, что вблизи резонансной частоты эквивалентную схему пьезопластины можно представить в виде последовательной LC цепочки. Поскольку

Zэ′ = −i Z0 N 2 2 tg(ωl2cD ) ,

при стремлении ω→ω(a1) =πcD l — частота первого антирезонанса, близкая к частоте первого резонанса, Zэ′ →0 . Обозначив ω1 = ω(a1) и введя расстройку ε =(ω−ω1 )ω1 1,

вблизи антирезонанса можно записать

Покажем, что аналогичный импеданс имеет последовательная LC -цепочка.

Действительно, импеданс этой LC -цепочки равен

Zц =iωL +1iωC =i(ω2CL −1)ωC .

Обозначив ω21 =1LC — резонансная частота цепочки, и вводя расстройку

Тогда эквивалентная схема преобразователя приобретает вид, показанный на рисунках, причем

Cn = −C0C(C −C0 )=C(1−CC0 ).

где m =ρSп l — масса пьезоэлемента; N =C0h33 = h33 εSl .

Чтобы иметь представление о порядке величин, рассчитаем Cn и Ln для эквивалент-

ной схемы тонкой круглой пластины из пьезокерамики ЦТС-19, работающей в резонансном

ε33отн. =1,5 103 — относительная диэлектрическая проницаемость;

K0,5 — коэффициент электромеханической связи.

Врезультате расчетов по (9) и (10) находим:

Здесь учтены следующие взаимосвязи между единицами величин:

при расчете параметра N

(Ф B м= Кл B с м B с = A B с м B = Вт с м В = Дж м В = Н В);

при расчете параметра Lп

(кгВ2 Н2 =(кгм с2 )(В2с2 Н2 м)= В2с2 Дж = В2с Вт = В2с АВ = Вс А= Гн).

Расчетные параметры используются при разработке измерительной аппаратуры для обеспечения максимальной чувствительности контроля.

Мы рассмотрели эквивалентную схему пьезоэлемента без учета затухания. Более реальному случаю отвечает схема, в которой эти потери учитываются.

Здесь C0 — собственная емкость пьезопластины при U = 0 , то есть емкость зажатого пре-

образователя; Rэл — сопротивление диэлектрических потерь, ими, как правило, пренебре-

гают; Rn = rN 2 — сопротивление, учитывающее потери на внутреннее трение в материале преобразователя Q−1 .

Величины Rn и Ln связаны через добротность преобразователя Q =1Q−1

Rn =ωp Ln / Q .

Добротность, в свою очередь, определяется из соотношения

Q 1 ωp C0 Zmin .

На резонансной частоте ULn =URn , и преобразователь эквивалентен конденсатору

C0 , шунтированному Rn и импедансом излучения (акустической нагрузки), пересчитанной в электрическую часть преобразователя, — Zн =(FV )(1 N 2 ), где V — колебательная

скорость излучаемой (регистрирующей колебания) поверхности пьезопреобразователя; F

— переменная сила, действующая на эту поверхность. В частности, а) если излучающий пьезопреобразователь в форме пластины плотно прижат или при-

клеен к поверхности массивного объекта контроля, характерные размеры которого h (20...30)λ, где λ — длина излучаемой воны, можно считать, что волна излучается в

бесконечную среду, тогда акустический импеданс нагрузки

Zн =(FV )(1 N 2 )= (ρc)ср S (1 N 2 ),

где (ρc)ср — волновое сопротивление среды; S — площадь поверхности преобразователя-

пластины.

б) если в объекте контроля происходит отражения волн с образованием стоячих волн,

то импеданс нагрузки Zн =(FV )(1 N 2 ) — комплексный, что, вообще говоря, усложняет

анализ эквивалентной схемы.

АКУСТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПЬЕЗОИЗЛУЧАТЕЛЯ

ВУЗ-дефектоскопии вводятся следующие понятия:

1.Поле излучения.