Активные фильтры

При работе с электрическими сигналами часто требуется выделить из них какую-либо одну частоту или полосу частот (например, разделить шумовой и полезный сигналы). Для подобного разделения используются электрические фильтры. Активные фильтры, в отличие от пассивных, включают в себя ОУ (или другие активные элементы, например, транзисторы, электронные лампы) и обладают рядом преимуществ. Они обеспечивают более качественное разделение полос пропускания и затухания, в них сравнительно просто можно регулировать неравномерности частотной характеристики в области пропускания и затухания. Также в схемах активных фильтров обычно не используются катушки индуктивности. В схемах активных фильтров частотные характеристики определяются частотнозависимыми обратными связями.

Фильтр нижних частот

Схема фильтра нижних частот приведена на Рис. 12.

Рис. 12. Активный фильтр нижних частот.

Коэффициент передачи такого фильтра можно записать как

, (5)

где

и. (6)

При К₀ >>1

Коэффициент передачи в (5) оказывается таким же, как и у пассивного фильтра второго порядка, содержащего все три элемента (R, L, C) (Рис. 13), для которого:

	.
Рис. 13. Пассивный RLC-фильтр нижних частот

Рис. 14. АЧХ и ФЧХ активного фильтра низких частот для разных Q.

Если R₁ = R₃ = R и C₂ = C₄ = С (на Рис. 12), то коэффициент передачи можно записать как

Амплитудно- и фазочастотные характеристики активного фильтра низких частот для разных значений добротности Q показаны на Рис. 14 (параметры электрической схемы подобраны так, чтобы ω₀ = 200 рад/с). Из рисунка видно, что с ростом Q проявляется резонансный характер амплитудно-частотной характеристики.

Активный фильтр низких частот первого порядка реализуется схемой Рис. 15.

Рис. 15. Активный фильтр низких частот первого порядка.

Коэффициент передачи фильтра равен

.

Пассивный аналог этого фильтра представлен на Рис. 16.

	.
Рис. 16. Пассивный фильтр низких частот первого порядка.

Сравнивая эти коэффициенты передачи, видим, что при одинаковых постоянных времени τ’₂ и τ модуль коэффициента передачи активного фильтра первого порядка будет в К₀ раз больше, чем у пассивного.

Рис. 17. Simulink-модель активного фильтра низких частот.

Исследовать АЧХ и ФЧХ рассматриваемого активного фильтра можно, например, в Simulink, используя блок передаточной функции. Для параметров электрической схемы К_р = 1, ω₀ = 200 рад/с и Q = 10 Simulink-модель с блоком передаточной функции будет выглядеть, как показано на Рис. 17. АЧХ и ФЧХ можно получить с помощью LTI-viewer. Но в данном случае проще использовать команду MATLAB freqs. Ниже приведен листинг для получения графиков АЧХ и ФЧХ.

w0=2e2; %собственная частота

Q=10; %добротность

w=0:1:400; %диапазон частот

b=[w0^2]; %вектор числителя передаточной функции:

a=[1 w0/Q w0^2]; %вектор знаменателя передаточной функции:

freqs(b,a,w); %расчет и построение АЧХ и ФЧХ

Амплитудно-частотные характеристики активного фильтра низких частот (для τ = 1с и К₀ = 1000) показаны на Рис.18. Из рисунка видно, что с ростом Q проявляется резонансный характер амплитудно-частотной характеристики.

Построим модель фильтра нижних частот в SimPowerSystems, используя созданный нами блок ОУ (operational amplifier), как показано на Рис 19. Блок операционного усилителя является нелинейным, поэтому в настройках Simulation/Configuration Parameters Simulink для увеличения скорости расчета нужно использовать методы ode23tb или ode15s. Также необходимо разумно выбрать шаг по времени.

Рис. 18. АЧХ и ФЧХ активного фильтра низких частот (для τ = 1с).

Пусть R₁ = R₃ = R₆ = 100 Ом, R₅ = 190 Ом, C₂ = C₄ = 5*10^-5 Ф. Для случая, когда частота источника совпадает с собственной частотой системы ω₀, сигнал на выходе фильтра достигает максимальной амплитуды (приведен на Рис. 20). Сигнал представляет собой установившиеся вынужденные колебания с частотой источника. На графике хорошо виден переходный процесс, вызванный включением схемы в момент времени t = 0. Также на графике видны отклонения сигнала от синусоидальной формы вблизи экстремумов. На Рис. 21. приведена увеличенная часть предыдущего графика. Эти отклонения можно объяснить насыщением ОУ (максимально допустимые значения напряжения на выходе ОУ ± 15 В). Очевидно, что при увеличении амплитуды сигнала источника увеличивается и область искажений сигнала на выходе

Рис. 19. Модель активного фильтра низких частот в SimPowerSystems.

Рис. 20. Сигнал на выходе активного фильтра низких частот.

Рис. 21. Фрагмент сигнала на выходе активного фильтра низких частот.