1.4.1. Использование системы уравнений, составленной по схеме

электрической цепи

Если электрическая цепь не содержит вырожденных ветвей с источниками ЭДС, то система уравнений относительно n неизвестных потенциалов имеет вид:

, (1.7)

где - неизвестный потенциал узлаm; G_{m m} – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле m; G_{p m} – сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы p и m; I_{m m} – узловой ток узла m, который равен алгебраической сумме токов короткого замыкания ветвей, сходящихся в узле m. Ток короткого замыкания берётся с плюсом, если источник в ветви направлен к узлу, в противном случае берётся с минусом.

Рассмотрим примеры использования системы уравнений (1.7) для определения неизвестных токов.

Пример 1.11

На рис.1.27 приведена электрическая цепь, в которой надо найти неизвестные токи.

Электрическая цепь содержит четыре узла. Выберем нулевой узел и составим в общем виде систему уравнений относительно потенциалов оставшихся узлов.

. (1.8)

Оформим листинг решения задачи. Зададимся исходными данными.

Определим коэффициенты и правую часть системы уравнений (1.8).

Рисунок 1.27

Составим матрицу коэффициентов левой части системы (1.6) и матрицу правой части.

Найдём потенциалы узлов.

На втором этапе анализа найдём неизвестные токи в ветвях с помощью напряжений на ветвях и уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для каждой ветви.

Проверим баланс мощностей источников электрической энергии и приёмников.

Баланс мощностей выполняется.

Пример 1.12

Рассмотрим пример использования метода узловых потенциалов, когда в электрической цепи есть вырожденная ветвь с источником ЭДС. В этом случае число узлов с неизвестными потенциалами уменьшается, так как разность потенциалов на вырожденной ветви известна и равна ЭДС ветви.

На рис. 1.28 приведена электрическая цепь, в которой надо найти неизвестные токи.

Потенциал одного из узлов вырожденной ветви приравняем к нулю. В цепи останутся два узла с неизвестными потенциалами. Потенциал третьего узла равен ЭДС вырожденной ветви. Система уравнений по методу узловых потенциалов будет иметь следующий вид:

, (1.9)

где .

Оформим листинг решения задачи. Зададимся исходными данными.

Определим коэффициенты и правую часть уравнений (1.9).

Рисунок 1.28

Составим матрицу коэффициентов левой части системы (1.9) и матрицу правой части.

Найдём потенциалы узлов.

На втором этапе анализа найдём неизвестные токи в ветвях с помощью напряжений на ветвях и уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для каждой ветви. Ток в вырожденной ветви найдём по первому закону Кирхгофа.

Проверим баланс мощностей источников электрической энергии и приёмников.

Баланс мощностей выполняется.