1.3.1. Использование системы уравнений, составленной по схеме

электрической цепи

Число неизвестных контурных токов равно числу независимых контуров. Выбирают произвольное направление неизвестных контурных токов. Источники тока создают известные контурные токи, для которых выбирают произвольные контуры, включающий только одну ветвь с источником тока.

Система уравнений, позволяющая найти n неизвестных контурных токов, имеет вид:

, (1.4)

где I_{m m} – неизвестные контурные токи; J_p – известные контурные токи; R_{m m} – сумма сопротивлений ветвей, образующих контур m; R_{k m} – сумма сопротивлений ветвей, по которым течёт контурный ток k и контурный ток m (берётся со знаком плюс, если направления контурных токов в ветвях одинаковые, в противном случае берётся со знаком минус); E_{m m} – алгебраическая сумма ЭДС, входящих в данный контур.

Рассмотрим примеры составления системы уравнений для контурных токов и определения токов в ветвях электрической цепи.

Пример 1.8

На рис. 1.20 приведена схема электрической цепи, в которой надо найти неизвестные токи. Электрическая цепь содержит три независимых контура. В этих контурах выбраны произвольные направления неизвестных контурных токов. Выбран контур с известным контурным током, равным току источника тока. По методу контурных токов на первом этапе надо составить и решить систему из трёх уравнений относительно контурных токов. Запишем её в общем виде:

. (1.5)

Оформим листинг решения задачи. Зададимся исходными данными.

Рассчитаем коэффициенты уравнений системы (1.5).

Рисунок 1.20

Составим матрицу коэффициентов левой части системы (1.5) и матрицу правой части.

Найдём контурные токи.

Найдём неизвестные токи в ветвях электрической цепи, как алгебраическую сумму соответствующих контурных токов.

На рис. 1.20 направления токов в ветвях проставлены после выполнения вычислений, поэтому шестой ток направлен против контурных токов, так как он получился отрицательным.

Проверим равенство мощностей источников и потребителей электрической энергии.

Баланс мощностей выполняется.

1.3.2. Использование графа электрической цепи

При анализе сложных электрических цепей возникают трудности на этапе выбора независимых контуров. Устранить их можно, если использовать для составления контурных уравнений направленный граф цепи. В этом случае система контурных уравнений в матричной форме принимает следующий вид:

, (1.6)

где В – матрица контуров, правила составления которой с помощью направленного графа цепи рассматривались ранее; I_k – матрица столбец неизвестных контурных токов; R – диагональная матрица сопротивлений ветвей; Е – матрица столбец ЭДС ветвей, J – матрица столбец источников тока.

Рассмотрим методику использования уравнения (1.6) на следующем примере.

Пример 1.9

На рис. 1.21 приведена электрическая цепь постоянного тока, которая содержит вырожденные ветви. Это Е3 и J1.

Рисунок 1.21

На рис. 1.22 приведена электрическая цепь после её эквивалентного преобразования с целью исключения вырожденных ветвей. Для этого использовались операции расщепление узла и расщепление ветви. На рис. 1.23 приведён направленный граф данной цепи с произвольно выбранными направлениями ветвей. На рис. 1.24 приведено одно из возможных деревьев графа.

Подготовим листинг решения данной задачи. Зададимся исходными данными. При определении знаков источников в соответствующих матрицах используем условно положительные направления токов и ЭДС в обобщённой ветви (рис. 1.25).

Рисунок 1.22

Рисунок 1.23 Рисунок 1.24

Рисунок 1.25

Составим матрицы источников и сопротивлений ветвей, затем перейдём к диагональной матрице сопротивлений ветвей.

Составим матрицу контуров, используя дерево графа и его связи (см. Пример 1.7).

Рассчитаем левую и правую части матричного уравнения и найдём контурные токи.

Определим неизвестные токи в ветвях заданной цепи, как алгебраическую сумму соответствующих контурных токов.

Ток в вырожденной ветви с источником ЭДС Е3 найдём с помощью первого закона Кирхгофа:

Определим напряжения на ветвях цепи и убедимся в балансе мощностей источников и приёмников.

Баланс мощностей выполняется.

При определении напряжений на резисторах использовался оператор векторизации. Показанное оформление вычислений позволяет сделать листинг компактным.

На последнем этапе необходимо показать на схеме электрической цепи реальные направления токов. Если токи положительные, то необходимо взять направления ветвей графа, а если токи отрицательные, то берут противоположные направления.

Для исключения вырожденной ветви с источником ЭДС необходимо параллельно источнику подключить столько таких же источников, сколько ветвей подключено к нему. Затем узел расщепляетсяи исчезает из схемы.

Для исключения вырожденной ветви с источником тока необходимо последовательно с ним включить столько таких же источников, сколько ветвей охватывает источник тока. Точки соединения источников соединяются с ближайшими узлами. Затем вырожденная ветвь расщепляется и исчезает из схемы.

Пример 1.10

Выполним исследование электрической цепи (рис. 1.26) при вариации тока источника тока. Для определения контурных токов используем способ решения системы уравнений методом последовательных приближений (вычислительный блок Given / Find).

Введём в листинг параметры элементов цепи:

Определим коэффициенты системы уравнений. Четвёртый контурный ток известен и равен току источника тока. Для него уравнение не составляется, но он учитывается в уравнениях для неизвестных контурных токов.

Рисунок 1.26

Зададимся рядом значений тока источника и нулевыми начальными значениями искомых токов. Решение оформляется следующим образом:

Знак равенства в уравнениях берётся с панели Boolean.

Определим реальные токи в ветвях как суперпозицию контурных токов при всех значениях тока источника тока.

Видно, что некоторые токи в ветвях будут менять направление в зависимости от величины тока источника.

Для проверки правильности анализа составим уравнение баланса мощностей. Сравним мощность, отдаваемую источниками и мощность, потребляемую резисторами схемы при всех значениях тока источника тока. Предварительно найдём напряжения на источнике тока для всех значений тока источника тока.

Равенство мощностей источников и приёмников выполняется во всех случаях, следовательно, результаты анализа верны.

При определении мощности, отдаваемой источником тока, использовалась операция векторизации, которая берётся с панели Matrix.

1.4. Использование метода УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Метод узловых потенциалов используется в тех случаях, когда в исследуемой электрической цепи количество узлов равно или меньше количества независимых контуров. На первом этапе определения неизвестных токов ищут значения потенциалов узлов, считая, что один из узлов имеет нулевой потенциал. В этом случае количество уравнений в системе на единицу меньше количества узлов в исследуемой электрической цепи. На втором этапе по найденным потенциалам узлов находят напряжения на ветвях, а затем и неизвестные токи.