Статья 2.Теорема о шести окружностях или теорема о четырех пучках. Пучки окружностей, их определение, виды и свойства. Краткое содержание.

Сначала здесь рассматривается теорем о шести окружностях или теорема о четырех пучках. После вычислительного, "школьного" доказательства приводятся доказательства, использующие простые объемные построения. Становится ясным, что теорема обобщается и на многомерные пространства и в плоском варианте.

Затем решается задача о нахождении образа точки Х при какой-то инверсии I, если не известна окружность инверсии, но известны образы двух других точек при этой инверсии. Задача неожиданно приводит нас снова к теореме о шести окружностях. Затем определяются "пучки" окружностей (они появляются при обобщении теоремы о шести окружностях) и рассматриваются их свойства. В конце статьи рассматриваются симметрии относительно точек и прямых в контексте геометрии окружности и используются элементы теории групп (без явных определений и от читателя не требуются предварительные знания).

Формулировка теоремы.

Пусть есть три окружности А, В, С, все пересекаются между собой. Выберем произвольную точку Х на плоскости и проведем через нее окружности D1, D2, D3 так, чтобы каждая из этих окружностей проходила через одну из пар точек пересечения трех исходных окружностей. Пусть окружности D1 и D2 пересекаются в точках P и Q. Тогда – утверждает теорема – и окружность D3 проходит через Q.

Рисунок 1.

(Исходные пересекающиеся окружности А, В, С точка Р и окружности D1, D2, D3)

Исключение. Возможно, что D1 и D2 касаются друг друга в точке Р. Тогда теорема утверждает, что и D3 касается их в точке Р.

Стандартное или школьное доказательство.

Обыкновенно задачу про окружности стараются свести к задачам про прямые, лучше всего – перпендикулярные (а еще лучше – к векторам) и подсчитать какие-нибудь углы и расстояния. В данном случае доказательство использует одну важную идею: если условие задачи содержит только слова "точка" и "окружность" и требуется доказать, что какие-то точки лежат на одной окружности (или окружности пересекаются в одной точке) то можно провести инверсию относительно любой окружности и решать задачу уже про инвертированные точки и окружности. Ведь при инверсии – окружности перейдут в окружности, а точки пересечения – в точки пересечения инвертированных окружностей. Если выбрать центр инверсии в точке пересечения каких-то окружностей, то эти окружности перейдут в прямые. А теоремы о прямых "школьная" геометрия умеет доказывать.

Осуществим инверсию с центром в точке Р. Тогда окружности D1, D2, D3 перейдут в прямые, т.к. по условию проходят через Р, центр инверсии. Нарисуем результат инверсии.

Рисунок 2.

(Окружности А, В, С, и прямые D1, D2, D3 каждая из прямых проходит через пару точек пересечения окружностей А, В, С между собой)

Прямые D1, D2, D3 имеют общую бесконечно удаленную точку. Это – образ точки Р при инверсии. Требуется доказать, что все они пересекаются в одной точке Q. Пусть АВ1 и АВ2; ВС1 и ВС2; АС1 и АС2 – точки пересечения соответственных окружностей. Проведем две прямые D2 и D3 – они пересекутся в точке Q, достаточно доказать, что прямая, проходящая через Q и АС1 проходит и через АС2. Для этого воспользуемся свойством секущих к окружности.

Рисунок 3.

(Окружность О, точка Q вне ее, прямая, проходящая через Q и пересекающая О в точках Х и Х1 и прямая, также проходящая через Q и пересекающая О в точках Y и Y1)

Свойство связывает расстояния: |Q,X|*|Q,X1|=|Q,Y|*|Q,Y1| тогда и только тогда, когда X, X1, Y, Y1 лежат на одной окружности ("только когда" требует уточнения, о том, что Q – не разделяет пары точек пересечения Х, Х1; и Y, Y1. Причем если Q лежит внутри окружности, то напротив, необходимо чтобы Q разделяла точки пересечения, а формула останется неизменной).

Применим это свойство к рисунку 2.

|Q, AB1|*|Q,AB2|=|Q,BC1|*|Q,BC2| т.к. все эти точки лежат на окружности В. Пусть Х – вторая точка пересечения прямой (Q, АС1) с окружностью С, надо доказать, что она лежит на окружности А. Отсюда сразу следует, что она и есть АС2.

|Q,AC1|*|Q,X|=|Q, BС1|*|Q, BС2| т.к. AC1, BС1, BС2 и Х – на окружности С. Но, как было уже сказано |Q, AB1|*|Q,AB2|=|Q,BC1|*|Q,BC2|, значит

|Q, AB1|*|Q,AB2|=|Q,AC1|*|Q,X| АВ1, АВ2, АС1 – лежат на А, значит по свойству длин секущих – и Х лежит на А, по построению Х лежит и на С, значит Х – вторая точка пересечения А и С, что и требовалось. Заметим, что если бы окружность С разделяла точки пересечения А и В, то, после инверсии Q разделяла бы точки АС1 и АС2 и другие точки пересечения. Доказательство в этом случае было бы аналогично.

Это – хорошее доказательство, но оно проходит мимо разных случаев обобщения этой теоремы.