Решение задачи Аполлония. (Для важнейшего частного случая)

Пусть все три исходные окружности А, В, С пересекают друг друга, причем третья окружность разделяет точки пересечения двух других (см. рис. 4). Выберем среди восьми областей, на которые окружности разбивают плоскость ту, которая лежит внутри всех окружностей (она пронумерована цифрой 1) и построим окружность, лежащую в этой области и касающуюся трех исходных. Для это поступим, как и было сказано в начале статьи аналогично построению окружности, вписанной в треугольник. Выберем те биссектрисы окружностей А, В и С – которые проходят через область 1. Например проведем биссектрисы между А и В и между В и С. Одна точка пересечения будет лежать в области 1, а другая в области 8 (вне всех окружностей). по свойству биссектрис, которое верно и для биссектрис окружностей, биссектриса между А и С также пройдет через эти две точки. Обозначим точки пересечения биссектрис, проходящих через область 1 Х1 и Х2.

Рисунок 17.

(Три исходные окружности А, В, С, биссектрисы между ними, проходящие через область 1, точки пересечения этих биссектрис Х1 и Х2)

Теперь, как и в случае с треугольником, опустим перпендикуляры из этих точек на окружности А, В, С. каждый такой перпендикуляр пересекает окружность (которой он перпендикулярен) в двух точках. Одна из этих точек лежит на границе области 1, другая – на границе области 8. Обозначим точки пересечения перпендикуляра на А – А1 и А2, на В – В1 и В2, на С – С1 и С2. причем пусть точка, лежащая на границе области 1 имеет индекс 1, а на границе области 8 – индекс 2. проведем через точки А1, В1 и С1 – окружность. Она и будет искомой, касающейся всех окружностей А, В, С. При этом она лежит внутри области 1 (внутри всех исходных окружностей). Если же мы проведем окружность через точки А2, В2, С2, то она будет лежать внутри области 8 (вне всех трех исходных окружностей), охватывая, как лассо, окружности А, В, С.

Рисунок 18.

(К рисунку 17 добавлены перпендикуляры, опущенные из точек Х1 и Х2 на исходные окружности и их точки пересечения с окружностями А, В, С)

Рисунок 19.

(Изображена искомая окружность, проходящая через А1, В1, С1 – точки пересечения перпендикуляров с окружностями А, В, С, лежащие на границе области 1)

Чтобы лучше уяснить расположение окружностей, расположенных в остальных шести областях, воспользуемся аналогией с треугольником. Точнее, мы найдем окружности, касающиеся всех трех прямых (продолженных сторон треугольника).

Рисунок 20.

(три пересекающиеся в разных точках прямые, все биссектрисы между ними, точки пересечения этих биссектрис, окружности с центрами в этих точках пересечения биссектрис, касающиеся трех исходных прямых).

Три прямые, образующие треугольник, разбивают плоскость на 7 областей. При этом 3 из них ограничены двумя прямыми и в них нельзя поместить окружности, касающиеся всех трех прямых, а 4 области ограничены всеми тремя прямыми и в них есть искомые окружности. Мы проводим все возможные биссектрисы между тремя исходными прямыми (между каждой парой прямых – 2 биссектрисы, а пар прямых всего три поэтому биссектрис всего 2*3=6). Но точек пересечения у этих биссектрис – всего 4 и в каждой сходятся по три биссектрисы. И каждая точка пересечения является центром окружности, вписанной в одну из областей плоскости (каждая точка пересечения биссектрис равноудалена от всех трех прямых).

Чтобы аналогия со случаем трех окружностей стала полней, будем считать (как и делают в геометрии окружности), что прямые – это окружности, пересекающиеся в бесконечно удаленной точке.

Вернемся к окружностям. Допустим, мы хотим найти окружность, лежащую внутри области 5 (внутри окружности В и вне окружности А и С). проведем биссектрисы между А и В и между В и С, проходящие через эту область. Они пересекаются в двух точках Р1 и Р2, причем одна из них будет лежать в области 5, а другая в области 4, которая в своем роде "противоположна" области 5 – там лежат точки, расположенные вне окружности В и внутри окружностей А и С. В этом же смысле противоположны друг другу области 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6.

Как и в случае с треугольником – между В и С, проходящая через область 5 – также проходит через точки Р1 и Р2. Проведем из этой пары точек окружности, перпендикулярные А, В и С. Как и ранее – обозначим точки пересечения перпендикуляра с окружностью, на которую он был опущен через А1, А2; В1, В2; С1, С2. Причем точки А1, В1, С1 лежат на границе области 5, а А2, В2, С2 – на границе области 4. Окружность, проведенная через А1, В1,С1 – лежит внутри области 5 и касается трех исходных, а окружность, проходящая через А2, В2, С2 – лежит внутри области 4 и также касается трех исходных.

Аналогично надо поступить, строя окружности лежащие в оставшихся областях, на которые окружности А, В и С разделили плоскость.