Теорема о пересечении биссектрис трех окружностей и неевклидовы геометрии.

Пусть даны три произвольные, не касающиеся друг друга окружности и D1 – какая-то биссектриса между А и В, а D2 – какая-то биссектриса между В и С. Теорема утверждает, что одна из двух существующих биссектрис между А и С обязательно лежит в пучке, образованном D1 и D2. Доказательство.

Рассмотрим пучок окружностей, ортогональных D1 и D2. Все окружности этого пучка изогональны и к А и В и к В и С. в самом деле, пусть О – какая-то окружность этого пучка. D1(O)=O, D1(A)=B следовательно угол между О и А равен углу между О и В. D2(O)=O, D2(B)=C, следовательно угол между О и В равен углу между О и С. Из этих равенств следует, что угол между О и А равен углу между О и С (транзитивность равенства). Это означает, что О изогональна и к А и С. Из доказанного следует, что О – ортогональна какой-то биссектрисе между А и С. Проведем еще О1 и О2 из пучка, ортогонального к D1 и D2, каждая из них изогональна к А и С и потому будет ортогональна какой-то биссектрисе между А и С. Т.к. из трех окружностей О, О1, О2 – каждая ортогональна одной из двух биссектрис между А и С, следовательно какая-то из биссектрис между А и С ортогональна двум из этих трех окружностей, следовательно, эта биссектриса лежит в том же пучке, что D1 и D2. Что и требовалось. Предоставляю читателю самостоятельно разобрать случай, когда среди А, В, С – есть касающиеся окружности.

Вернемся к нашей модели разных геометрий. Согласно ей, три окружности А, В, С – прямые (неизвестно какой геометрии, Римана, Лобачевского или Евклида). Тем самым мы доказали, что в любом треугольнике – любой геометрии – биссектрисы пересекаются. Правда, требуется установить, какие именно биссектрисы!

Ранее доказав, что изогональные окружности ортогональны биссектрисе, мы доказали в терминах нашей модели (любой геометрии!), что в треугольнике, углы при одной из сторон которого равны – биссектриса противоположного угла ортогональна этой стороне. правда, и здесь требуется уточнить, какие именно углы равны.

Итак, мы видим, что предложенная модель позволяет вполне эффективно доказывать теоремы неевклидовых (и евклидовой) геометрий одновременно.

Статья 8.Завершение задачи Аполлония и другие задачи на построение. Краткое содержание статьи.

В статье завершается рассмотрение задачи Аполлония и рассматриваются однотипные задачи на построение ортогональных и касающихся окружностей. Приводится метод быстрого построения изогональных окружностей (см ст. 7).

Выясняется, когда композиция трех инверсий лежащих в одном пучке может быть мнимой инверсией и с помощью этого выясняется, сколько в каких случаях можно провести окружностей О, касающихся данных А, В, С. Приводится скромный геометрический анализ алгебраических результатов.

Возвращение к задаче Аполлония (с того места, как мы оставили ее в ст. 6)

Вернемся к задаче о проведении окружности О, касающейся трех данных А, В, С. По условию, О образует одинаковый (нулевой) угол с тремя окружностями А, В, С, иначе говоря – является изогональной к ним (см. ст. 7). Отсюда следует, что О – ортогональна каким-то двум биссектрисам: D1 между А и В, и D2 между В и С (а по теореме статьи 7 о биссектрисах – и что какой-то биссектрисе между А и С). Для не читавших статью 7, докажу здесь, что если О ортогональна D1 и D2, то угол между О и А равен углу между О и В и между О и С.

Угол между О и А равен углу между D1(O)=O и D1(A)=B, т.е. углу между О и В, угол между О и В равен D2(O)=O и D2(В)=С, т. е углу между О и С, что и требовалось.

Окружности, ортогональные D1 и D2 – образуют некоторый пучок. поэтому задача сводится к нахождению в данном пучке окружности, касающейся данной. прежде чем решить эту, не очень сложную задачу (собственно один из вариантов ее решения уже предложен в ст. 1), мы разберем ряд однотипных задач на построение касательных или ортогональных окружностей. Некоторые из них будут тривиальны, а некоторые – содержат изюминку. Поскольку мы занимаемся геометрией окружности, то исходными операциями будут: инверсия, проведение окружностей через три точки, нахождение общих точек двух окружностей. Мы не будем проводить прямые и находить центры окружностей для решения этих задач.