Плодотворность плоской модели.

На мой взгляд эта плоская модель весьма удобна для доказательств теорем всех геометрий: Римана Евклида, Лобачевского. Особенно модель плодотворна для доказательств теорем о треугольниках – это сводится к доказательству каких-то свойств трех окружностей А, В, С.

Заметим, что расстояние между «точками» геометрий нужно изучать и определять специально (на основании гармонического отношения, ст. 4, 5), а вот углы между «прямыми» – это просто углы между изображающими их окружностями. Поэтому и теоремы проще доказывать про углы, биссектрисы и т.п. Приведу два примера:

1. Сумма углов треугольника в разных геометриях.

2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке во всех трех геометриях.

Сумма углов треугольника или «углы в трехокружнике».

В геометрии Евклида.

Рисунок 4.

(Три окружности А, В, С пересекающиеся в одной точке О. Меньшая окружность, С, лежит внутри окружностей А и В. Точки пересечения А и В – О и Н, В и С – О и Q, А и С – О и Р. Отмечены одинаковые углы, которые при точке О образуют полукружье, т.е. – 180 градусов.)

Вершинами Евклидова треугольника будут вторые точки пересечения окружностей А, В, С между собой (первую, точку О – можно отбросить, т.к. в ней пересекаются все прямые и изображающие их окружности). Треугольник PQH изображен в модели тремя дугами PQ, QH, и HP. Теперь воспользуемся тем, что окружности пересекаются в двух точках и углы – одинаковы в обеих точках. Мы видим, что углы между соответствующими дугами – сходятся в точке О и там дополняют друг друга (без пересечений) до угла в 180 градусов. следовательно, сумма углов между указанными дугами равна 180 градусов и сумма углов треугольника также. Что и требовалось. Заметим, что это доказательство не требует проведения каких-либо вспомогательных линий. А при обычном доказательстве надо провести прямую через одну из вершин, параллельную третьей стороне.

В геометрии Римана сумма углов треугольника всегда больше 180 градусов.

Рисунок 5.

(Три римановы окружности А, В, С. Окружность D проходящая через те точки пересечения А и В с С, которые лежат внутри А и В и через точку пересечения А и В, которая лежит вне С.)

Проведем три римановы окружности А, В, С. В качестве сторон треугольника возьмем дуги, ограничивающие область, лежащую внутри всех окружностей. Проведем окружность D через не входящую в треугольник точку пересечения А и В и две точки пересечения С с А и С с В. Точки пересечения возьмем входящие в треугольник. Окружности А, В, D – пересекаются в одной точке, значит, по доказанному ранее – сумма их углов равна 180 градусов. Но окружность D входит внутрь дуг, образующих треугольник и проходит через его вершины, поэтому сумма углов между D, B, A всегда меньше, чем сумма углов между А, В, С, поэтому сумма углов, образованных дугами АВ, ВС и СА – больше 180 градусов. что и требовалось. (По-моему это рассуждение практически невозможно понять без чертежа, но даже на плохом рисунке оно довольно прозрачно, главное не ошибиться с ориентацией углов и не запутаться в основном и дополнительном угле).

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180 градусов.

Рисунок 6.

(Три окружности Лобачевского А., В, С. В расположена внутри А и С. Вспомогательная окружность D проходящая через точку пересечения А и С и точки пересечения В и А и В и С, которые лежат ближе к той точке пересечения А и С, через которую D не проходит.)

В этом случае мы считаем треугольником три точки пересечения А, В, С между собой, которые лежат дальше от той точки пересечения А и С, через которую проходит D. В этом случае D не зайдет в треугольник, хотя и пройдет через две его вершины. поэтому сумма углов трехокружника А. В, С меньше суммы углов трехокружника А, В, D, а последняя равна 180 градусов, т.к. A, B, D – пересекаются в одной точке. Как и в прошлом случае – рассуждение очень прозрачно даже на плохом чертеже.

В случае Римана или Лобачевского есть проблема выбора трех точек, которые можно рассматривать как вершины треугольника. Также не ясно, какие дуги нужно считать сторонами. Эта проблема сводится к такой: точка геометрии изображается парой точек пересечения окружностей. Как выбрать из этой пары одну точку? Для этого удобно привлечь окружность I, ортогональную А, В, С. Если I – действительная окружность и мы имеем дело с геометрией Лобачевского, то пара сопряженных относительно нее точек – разделяется этой окружностью. Мы можем выбрать в качестве представителя – точку пары, лежащую внутри окружности I. Тогда все точки геометрии – это точки внутри окружности I. Если же I – мнимая инверсия, то мы можем выбрать какую-нибудь действительную окружность, ортогональную I. под действием I эта окружность «вывернется наизнанку», она разделяет сопряженные относительно I точки и мы опять-таки можем выбрать в качестве точек геометрии – внутренность этой окружности. Впрочем не во всех теоремах есть необходимость этим пользоваться.

Заметим, что хотя теоремы становится проще доказывать из-за того, что окружности пересекаются в двух точках и это увеличивает количество равных углов, надо быть и внимательней, т.к. надо учитывать ориентацию углов, различать прямой и дополнительный углы.