Статья 6.Наглядные теоремы и построения. (Возвращение к старым темам). Краткое содержание статьи.

В этой статье обсуждаются темы, появлявшиеся в предыдущих статьях. Сначала указываются разные способы построения окружности, ортогональной трем данным и доказываются теоремы про окружности, построенные на точках пересечения трех данных окружностей. Затем доказывается сформулированное в ст.3 утверждение, что отображение плоскости, отображающее окружности в окружности и неподвижное в трех точках – либо инверсия, либо тождественное движение. Наконец, изучаются новые свойства биссектрис окружностей и я возвращаюсь к задаче Аполлония.

Окружность, ортогональная трем данным.

В статьях 4 и 5 мы многократно использовали тот факт, что для трех инверсий А, В, С существует одна, коммутирующая с ними всеми. Для доказательства мы использовали теорему о пучках (ст. 2). Сейчас я это кратко повторю, сейчас я это кратко повторю, ограничиваясь тем случаем, когда все три инверсии – действительные, т.е. имеют неподвижную окружность.

Пусть, например, А, пересекается с В но они обе не имеют общих точек с С. Возьмем произвольную точку Х и построим ее образ I(X), где I – коммутирующее с А. В, С отображение.

Рисунок 1.

(Две пересекающиеся окружности А и В, не имеющая с ними общих точек окружность С. Точка Х, окружность D1 проходящая через Х и точки пересечения А и В, окружность D2 из пучка (А, С) и проходящая через Х, окружность D3 из пучка (С, В) и проходящая через Х. Точка пересечения D1, D2, D3 – Y=I(X))

По теореме о пучках D1, D2, D3 все проходят через какую-то точку Y которая и будет образом X при инверсии, коммутирующей с инверсиями относительно А, В, С. Но как нарисовать эту инверсию? Точнее, как найти ее неподвижную окружность (существующую, если инверсия действительная)? Без этого инверсия кажется какой-то слишком абстрактной. Решение зависит от взаимного расположения окружностей А, В, С.

1. Окружности А, В, С – не пересекаются.

Рисунок 2.

(Три не имеющие общих точек окружности А, В, С. точки Р1, Р2 – центры пучка А, В; Q1, Q2 – центры пучка А, С; Н1, Н2 – центры пучка В, С.)

Докажем, что все шесть центров пучков (образованных исходными окружностями А, В, С) – лежат на одной окружности I, которая и будет ортогональна (коммутирующей) с А, В, С. Проведем окружность I через два центра одного пучка, например (А, В) – Р1 и Р2 и один из центров пучка (А, С), Q1. Мы можем это сделать, т.к. через три точки всегда можно провести окружность. Т.к. I проходит через пару сопряженных относительно А точек Р1 и Р2 то I ортогональна А, т.к Р1 и Р2 сопряжены и относительно В, то I ортогональна и В. Докажем, что I ортогональна и С. Т.к. I проходит через Q1 и А(Q1)=Q2, то I проходит и через Q2. Но раз I проходит через пару сопряженных относительно С точек Q1 и Q2 то I ортогональна и С. Т.к. I ортогональна В и С, то она проходит через центры пучка (В, С) H1 и H2. Что и требовалось, мы доказали, что I проходит через все шесть центров пучков и что она ортогональна А, В, С.

2. Пусть А не пересекается с В и С, а В и С – пересекаются между собой.

Рисунок 3.

(Пересекающиеся окружности В и С, не имеющая с ними общих точек окружность А. Точки Р1 и Р2 – центры пучка (А, В), Q1 и Q2 – центры пучка (А, С).)

Т.к. А(Р1)=Р2, А(Q1)=Q2, то через эти четыре точки можно провести окружность. Она и будет ортогональна А, В, С.

3. А не пересекается с С, остальные окружности пересекаются.

Рисунок 4.

(Окружности А, В, С, такие что В пересекается с А и С, А и С между собой не имеют общих точек. Р1 и Р2 – центры пучка (А, С).)

Инвертируем точки Р1 и Р2 относительно В и проведем через четыре точки Р1, Р2, В(Р1), В(Р2) окружность I. Т.к. она проходит через Р1 и Р2, то она ортогональна А и С, а т.к. она проходит через Р1 и В(Р1) – она ортогональна В. что и требовалось.

Наиболее интересны варианты, когда все окружности А, В, С – пересекаются между собой. в этом случае возможно следующее:

А. Ни одна из окружностей не разделяет точки пересечения двух других. По причинам, которые станут понятны в следующих статьях я называю такой случай расположения окружностей А, В, С – случаем Лобачевского, а сами три окружности – окружностями Лобачевского.

В. Все три окружности А, В, С пересекаются в одной точке. Я называю этот вариант расположения окружностей – евклидовым. В этом случае нет необходимой инверсии, коммутирующей с А, В, С (если не считать, как было сделано в ст. 4 таковой – отображение всей плоскости в их точку пересечения). Предлагаю самостоятельно провести рассуждения аналогичные рис. 1.

С. Одна из окружностей разделяет точки пересечения двух других. Предлагаю самостоятельно доказать, что в этом случае и любая другая окружность разделяет точки пересечения двух оставшихся. Я называю такой случай расположения окружностей А, В, С Римановым, а сами окружности – Римановыми.