Немного о симметриях в пространстве.

В этой статье я чередую изложение геометрии окружности с евклидовой планиметрией и стереометрией, чтобы наглядно продемонстрировать единство методов изучения этих разных случаев. Кроме того, факты геометрии окружности подсказывают идеи для стереометрии и наоборот.

В евклидовом пространстве мы имеем симметрии:

1. Относительно точки.

2. Относительно прямой

3. Относительно плоскости.

Сделаем простые наблюдения:

Симметрии, задаваемые перпендикулярным плосокостями – коммутируют. Их композиция – симметрия относительно прямой, по которой эти плоскости пересекаются.. Верно и обратное: если симметрии относительно плоскостей коммутируют – они перпендикулярны.. Если три плоскости А, В, С все перпендикулярны между собой, то они все коммутируют между собой а композиция А*В*С=Т, где Т – симметрия относительно их точки пересечения. Если две прямые перпендикулярны, то композоиция симметрий относительно них – симметрия относительно прямой, проходящей через точку их пересечения и ортогоналной обеим исходным. Если прямые А, В, С все перепендикулярны друг другу (оси координат), то композиция трех симметрий относительно них – тождественное движение: А*В*С=е

Мы видели, что композицией трех симметрий относительно плоскостей – можно получить точечную и осесимметрии. А вот с помощью композиций осесимметрий нельзя получить ни симметрию относительно точки, ни симметрию относительно плоскости. Дело в том, что симметрии относительно точки или плоскости – меняют ориентацию фигуры, а симметрии относительно прямых–нет. Композиция двух точечных симметрий – параллельный перенос пространства, композиция двух симметрий относительно плоскостей – поворот на удвоенный угол между ними, вокруг прямой их пересечения (а если плоскости не пересекаются, то – параллельный перенос).

Композиция двух симметрий относительно прямых устроена сложнее. Это – винтовое движение. Оно состоит из поворота относительно некоторой оси и параллельного переноса вдоль этой оси. Если две прямые пересекаются в одной точке, то композиция будет только поворотом, а если они параллельны – только параллельным переносом. Методом, очень похожим на доказательство аналогичного факта для геометрии окружности можно доказать, что композиция 5 симметрий относительно плоскостей есть композиция трех симметрий относительно каких-то других плоскостей. Докажем, что композиция трех осесимметрий сводится к композиции относительно двух других осесимметрий. Отсюда будет следовать, что композиция двух винтовых движений – снова винтовое движение.

1. Для любых двух прямых А и В есть прямая С, перпендикулярная им обеим. (Это – хорошо известный факт стереометрии. Я привожу здесь его доказательство потому, что оно очень изящно использует идеи непрерывности). Пусть на прямой А перемещается точка Р, а на прямой В – точка Q. Будем измерять расстояние |P, Q|. Очевидно – это расстояние может быть сколько угодно большим. Но оно не может быть сколь угодно малы, оно никак не может быть меньше нуля. По известной теореме о непрерывности – при каких-то Р и Q это расстояние достигает минимума. Проведем через эти точки прямую (P, Q). Она и будет искомой! Потому что перпендикуляр из точки Р на прямую В реализует кратчайшее расстояние от Р до В. Если же минимум |P, Q|=0, то Р=Q, значит А и В – пересекаются и поэтому лежат в одной плоскости. Искомая прямая -- проходит через точку их пересечения и ортогональна плоскости, в которой они лежат (и, разумеется А и В).

2. Если для прямых А, В, С существует перпендикулярная им всем прямая Н, то А*В*С – инволютивно и есть осесимметрия относительно некоей прямой D, также перпендикулярной Н. Доказательство аналогично плоскому случаю трех прямых, пересекающихся в одной точке. Пусть D – некоторая осесимметрия. Равенство А*В*С=D равносильно А*B=D*C. Выберем D на таком же расстоянии от С, как А от В и образующую с С такой же угол и в том же направлении как угол между А и В и получим нужное А*В= D*C (т.к. и левая и правая часть равенства определяют одно и тоже винтовое движение относительно одной и той же оси Н). Домножив справа на С получим искомое А*В*С=D. Что и требовалось.

3. Пусть теперь А, В, С – три произвольные прямые. Пусть Н=А*В*С. Опять-таки, мы сейчас вставим F, такое, что А*В*F инволютивно и F*C – инволютивно. Пусть прямая М перпендикулярна А и В (по доказанному в п. 1 – она существует). Так же существует и прямая F, ортогональная М и С. Она и будет искомой. H=(A*B*F)*(F*C). Левая скобка – осесимметрия, т.к. А, В, F – перпендикулярны одной прямой М. Правая скобка осесимметрия, т.к. F перпендикулярна к С. Что и требовалось.

Предлагаю читателю самостоятельно разобрать случаи композиции симметрий относительно плоскости и лежащей на ней точки, плоскости и лежащей на ней прямой, плоскости и перпендикулярной ей прямой, прямой и лежащей на ней точки. Не очень сложно доказать, что всякую композицию симметрий в трехмерном пространстве можно свести к композиции симметрий относительно двух объектов (плоскости, прямой или точки). Иначе говоря – группа движений трехмерного пространства – биинволютивна. Группа движений n-мерного евклидова пространства также биинволютивна: композиция любого числа симметрий сводится к двум симметриям относительно гиперплоскостей разных размерностей (я считаю точку гиперплоскостью размерности 0) Доказательство будет посложнее, я не буду его здесь приводить, т.к. это уведет нас в сторону.