Композиция симметрий на плоскости.

Прежде, чем исследовать композицию инверсий, рассмотрим композицию симметрий относительно прямых на плоскости. Напомним сказанное в ст.2:

1. Если прямые А и В пересекаются, то композиция симметрий относительно них – поворот на удвоенный угол между ними. Центр поворота – точка пересечения А и В.

2. Если прямые А и В параллельны, то композиция симметрий относительно них – параллельный перенос на удвоенное расстояние между ними, в направлении, перпендикулярном этим прямым. (Напоминает поворот с центром в очень далекой точке).

Сделаем несколько простых наблюдений относительно точечных симметрий. Симметрия относительно какой-либо точки Т – есть результат композиции симметрий относительно двух перпендикулярных прямых А и В, пересекающихся в этой точке.

Рисунок 3.

(Две перпендикулярные прямые А и В, точка их пересечения Т, точки Х, А(Х), В(А(Х))=Т(Х))

В*А=А*В=Т

Композиция двух точечных симметрий относительно двух произвольных точек Р и Q, как было показано в ст. 2 это параллельный перенос на удвоенный вектор с концами в Р и Q (начало вектора в центре первой симметрии, конец – в центре второй). Заметим, что все параллельные переносы коммутируют между собой. Поэтому мы можем записать тождество для точечных симметрий: пусть есть четыре произвольные точки P, Q, S, T. Тогда: P*Q*S*T=S*T*P*Q, ведь P*Q и S*T – а переносы можно переставлять!

Заметим еще, что симметрия относительно прямой и симметрия относительно точки коммутируют тогда и только тогда, когда точка лежит на этой прямой. В этом случае результат композиции – симметрия относительно перпендикуляра к исходной прямой в данной точке. Это можно вывести из рис.3. А*В=Т, следовательно А=Т*В. Заметим еще, что если две симметрии (не важно, относительно точки или прямой) коммутируют, то их композиция – инволютивна. Пусть H и F – две произвольные коммутирующие симметрии. Обозначим H*F=F*H за G. G*G=H*F*H*F=H*F*F*H (коммутативность)= Н*Н=е (тождественное движение). Что и требовалось, G*G=e иначе говоря, G – инволютивна. Верно и обратное – если композиция двух симметрий инволютивна, то исходная пара симметрий коммутирует между собой, оставляю это для самостоятельного доказательства.

Композиция симметрий относительно четырех прямых.

Теперь покажем, что композиция симметрий относительно любых четырех прямых А, В, С, D равна композиции симметрий относительно каких-то двух прямых (то есть всегда есть поворот или параллельный перенос).

Обозначим композицию симметрий относительно А, В, С, D как H. H=D*C*B*A. «Вставим» в запись H симметрию относительно некоей прямой F: H=D*C*B*A=D*C*(F*F)*B*A=(D*C*F)*(F*B*A). Эти равенства выполняются, какой бы F ни была, они просто следуют из того, что мы можем как угодно расставлять скобки, выполняя композицию, иначе говоря из ассоциативности. Если D*C*F и F*B*A – обе являются симметриями относительно неких прямых, то мы получим требуемое. Поэтому для доказательства нам достаточно найти такую F, что обе указанные композиции из трех симметрий стали бы равны симметрии относительно прямой. В ст.2 мы уже говорили о «пучках прямых». Рассмотрим прямую, соединяющую пучки (D, C) и (В, А) – она и будет искомой F. Для тех, кто не обратил внимание на это место ст. 2, поясню. Пусть прямые В, А пересекаются в точке Р, а прямые D, C – в точке Q. проведем через эти точки прямую F. Тогда А, В, F – все проходят через Р и по доказанному ранее в ст.2 F*B*A – симметрия относительно некоей прямой L, проходящей через Р, а D*C*F – симметрия относительно некоей прямой М, проходящей через Q. Итак, в этом случае: D*C*B*A=(D*C*F)*(F*B*A)=М*L где М и L – прямые. Что и требовалось доказать.

Рисунок 4.

(прямые А, В, пересекающиеся в точке Р, прямые С, D, пересекающиеся в точке Q, прямая F, проходящая через Р и Q, прямые L и М. угол между L и F равен углу между А и В, угол между F и М равен углу между С и D).

Пусть теперь прямые А и В не пересекаются, а параллельны. Выберем из это пучка параллельных прямых прямую, проходящую через Q, точку пересечения прямых C и D.

Рисунок 5

(параллельные прямые А и В, прямые С и D, и прямая F, проходящая через их точку пересечения)

Прямая F и будет искомой

Если же С и D тоже не пересекаются, то В*А – параллельный перенос, С*D – параллельный перенос, поэтому (D*C)*(B*A) – композиция двух параллельных переносов, а композиция двух переносов – всегда снова параллельный перенос. А всякий параллельный перенос – представим композицией двух осесимметрий.

Мы можем пояснить рисунок 4 и само доказательство более геометрично: раз композиция В*А поворот с центром в точке пересечения В и А, то, если угол между В1 и А1 равен углу между В и А (и в том же направлении), и В1 и А1 пересекаются в той же точке Р, что В и А, то В*А=В1*А1. Это означает, что мы можем поворачивать В и А относительно Р, и при этом композиция симметрий относительно этих прямых меняться не будет. Повернем так, чтобы В проходила через Q, точку пересечения С и D. Аналогично повернем прямые С и D так, что С заняла место этой прямой. В результате в выражении D*C*B*A два средних члена сократятся, т.к. С и В повернуты до одной и той же прямой.

Итак, доказано, что композицию четырех осесимметрий можно свести к двум осесимметриям. Отсюда следует, что композицию любого числа осесимметрий можно свести не более чем к трем осесимметриям. В самом деле, пусть есть пять осесимметрий и их композиция: А*В*С*D*E= Н. Композиция первых четырех сводится к двум. Значит Н=L*M*E где L*M=А*В*С*D, что и требовалось. аналогично поступим и для композиции большего числа осесимметрий.