Статья 5.Исчисление симметрий. Краткое содержание статьи.

Статья начинается с несколько абстрактных рассуждений, которые помогут нам изучать композиции симметрий. Затем изучаются композиции симметрий относительно прямых на плоскости и доказывается, что любая такая композиция есть или поворот или параллельный перенос или композиция симметрий относительно точки и прямой.

Перед тем, как изучать композицию инверсий относительно окружности определяется «абстрактная группа движений». Далее изучается, в каких случаях композицию четырех инверсий можно свести к композиции двух инверсий и доказывается, что композиция любого числа инверсий сводится к композиции четырех инверсий (действительных или мнимых).

Затем кратко изучаются некоторые свойства симметрий в евклидовом пространстве. В конце статьи изучается и определяется симметрия относительно двух ортогональных окружностей (биплетная симметрия), демонстрируется ее сходство с симметриями в пространстве и ее связь с гармоническим отношением.

Все перечисленные темы так, чтобы показать единство методов и идей и применение важных понятий теории групп.

Сопряженные движения.

Я начну с несколько абстрактного рассуждения. Впрочем, одна из целей этой статьи – показать, что кажущиеся абстрактными рассуждения и символическая запись помогают понять геометрию.

До сих пор не обращали внимания на различие между инверсией и той окружностью, относительно которой она проводится, между прямой и симметрией относительно этой прямой. Обозначали их одним и тем же символом, одной и той же буквой. Из контекста становилось ясно – о чем речь. Между тем это – совершенно разные вещи. Для нас важно, что симметрия относительно прямой или окружности однозначно задается указанием этой прямой или окружности. Иначе говоря, эти симметрии однозначно задаются множеством своих неподвижных точек.

Пусть у нас есть две окружности А и В (или прямые, если мы изучаем не геометрию окружностей, а геометрию обычной, евклидовой плоскости). мы можем рассмотреть композицию этих симметрий А*В. Это – новое движение плоскости. Оно уже не будет симметрией (в общем случае). Но, поскольку симметрии относительно А и В оставляет неизменными какие-то свойства фигур, то и их композиция не изменит эти свойства. Мы можем рассмотреть также А(В) и В(А). Это – уже не будут движения. Это будут фигуры (в нашем случае – окружности или прямые). А(В) – результат действия симметрии относительно А на В, иначе говоря симметричная с В относительно А окружность. Эта окружность – сама задает некоторую симметрию. Можно ли выразить инверсию, которую задает А(В) через композицию инверсий относительно А и В? Если можно, то как?

Обозначим А(В)=С. С задает некоторую новую симметрию. что значит «две симметрии совпадают»? Или, более общий вопрос: «два движения, например С и С1 совпадают?». Это означает, что они одинаково действуют на все точки плоскости, т.е. для всех точек плоскости С(Х)=С1(Х). Рассмотрим сначала случай, когда А и В – прямые.

Рисунок 1.

(Прямые А и В, симметричная с В относительно А прямая С=А(В). Точка Х, симметричная с ней относительно А точка А(Х), симметричная с Х относительно С точка С(Х), симметричная А(Х) относительно В точка В(А(Х)))

Мы хотим выразить С(Х), осуществляя симметрии относительно А и В. Симметрия относительно А переведет А(В)=С снова в В, а пару точек Х и С(Х), симметричную относительно С=А(В) в пару точек, симметричную относительно А(А(В))=В (последнее т.к. симметрия сохраняет углы и расстояния, если фигуры симметричны относительно некоторой прямой М, то их образы при симметрии относительно любой прямой L – симметричны относительно L(М)).

Поэтому А(В(А(Х)))= С(Х). (А переводит пару точек А(Х), В(А(Х)) симметричных относительно В в пару точек, симметричных относительно А(В)=С, А(А(Х))=Х, А(В(А(Х)). Что и требовалось. Мы выразили С(Х) через композиции А и В: С=А*В*А. Заметим, что раз А инволютивно А*А=е или А^-1=А (обратное к А движение совпадает с А). Поэтому мы можем записать С=А*В*А^-1.

Усложним нашу задачу. Пусть теперь А – не симметрия относительно прямой, а – произвольное движение плоскости, произвольная композиция симметрий. А как-то действует на прямую В. Пусть А(В)=С, где С – некоторая другая прямая. Поэтому С задает некую симметрию. Как выразить эту симметрию с помощью композиции А и симметрии относительно В?

Ответ будет тем же самым: С=А*В*А^-1. Докажем. Пусть Х – произвольная точка. Пара точек Х, С(Х) – симметрична относительно прямой С. Рассмотрим пару точек А^-1(X), A^-1(C(X)). Она будет симметрична относительно А^-1(C)=A^-1(A(B))=В. Поэтому В(А^-1(x))=A^-1(C(X)). Подействуем на обе части равенства движением А, получим: А(В(А^-1(Х)))=С(Х). Что и требовалось.

Применим наши выкладки к простейшему случаю: когда прямая В действует сама на себя. В(В)=В, В*В*В^-1=В как и должно быть.

Мы рассмотрели случай, когда А и В прямые. Если это окружности, то все рассуждения сохраняют силу.

Рисунок 2.

(Две окружности А и В – удобней нарисовать непересекающиеся окружности – окружность С=А(В), точки Х, С(Х), А(Х), В(А(Х)))

Ведь инверсии относительно окружностей также переводят точки, симметричные относительно окружности, в точки, симметричные относительно образа этой окружности при инверсии. Просто рисунки симметрий относительно прямых – более наглядны, поэтому я с них и начал эту тему.

Теперь дадим определение сопряженных движений. Пусть А и В два движения (не обязательно симметрии). Движение А*В*А^-1 называется сопряженным с В движением. Только что мы видели роль сопряженных движений для частного случая, когда В – симметрия относительно прямой или инверсия.