Оглавление

Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. 4

Статья 1. Новое решение задачи Аполлония о проведении окружности, касающейся трех данных. 4

Краткое содержание статьи. 4

Сколько искомых окружностей? 5

Фундаментальные понятия: 5

Определение и основные свойства инверсии: 6

Перпендикуляр, опущенный на окружность. 7

Решение задачи Аполлония. (Для важнейшего частного случая) 8

Вопросы. 9

Статья 2. Теорема о шести окружностях или теорема о четырех пучках. Пучки окружностей, их определение, виды и свойства. 10

Краткое содержание. 10

Формулировка теоремы. 11

Стандартное или школьное доказательство. 11

Второе доказательство. 12

Третье доказательство. 13

Снова про инверсии. 13

Уточнение и мнимая инверсия. 14

Пучки окружностей 15

Дополнение о прямых и точках на плоскости. 16

Связь пучков окружностей и пучков прямых. 18

Статья 3. Разные теоремы про окружности. 18

Краткое содержание статьи. 18

Три взаимнокасающиеся окружности. 18

Биссектриса и система касающихся окружностей. 20

Разные случаи расположения окружностей, касающихся двух данных. 21

Теоремы о пересекающихся окружностях и перестановки четырех точек. 22

Тройственные симметрии. 25

Четыре касающиеся друг друга окружности. 27

Четыре касающиеся друг друга сферы. 28

Теорема Штайнера о системе касающихся друг друга окружностей. 28

Статья 4. Моделирование проективной геометрии с помощью геометрии окружности и сферы. 30

Краткое содержание статьи. 30

Моделирование проективной плоскости. А-отображения. 30

Алгебраические свойства А-отображений и их геометрическое истолкование. 32

Теорема Паскаля и А-отображения, уравнение (S*T*F)2=e. 34

Моделирование проективного пространства. 35

Приложение. Основные свойства пучков окружностей. 37

Ортогональность и пучки. 38

Пучки, тождество (А*В*С)2=e и непрерывность. 39

Статья 5. Исчисление симметрий. 40

Краткое содержание статьи. 40

Сопряженные движения. 40

Композиция симметрий на плоскости. 41

Композиция симметрий относительно четырех прямых. 42

Композиция симметрий относительно трех прямых. 43

Определение абстрактной группы движений. 43

Композиция пяти инверсий. 44

Немного о симметриях в пространстве. 45

Биплетная симметрия, или симметрия относительно пары точек. 46

Статья 6. Наглядные теоремы и построения. (Возвращение к старым темам). 49

Краткое содержание статьи. 49

Окружность, ортогональная трем данным. 49

Три окружности Лобачевского. 50

Римановы окружности и евклидовы окружности. 51

Новые свойства трех окружностей. 51

Трехмерное обобщение теоремы о трехокружнике Лобачевского. 52

Еще один способ построения окружности, ортогональной трем окружностям Лобачевского. 52

Теорема о трех неподвижных точках. 53

Биссектрисы или серединные окружности. 55

Снова задача Аполлония. 56

Статья 7. Моделирование геометрий Лобачевского, Евклида и Римана в геометрии окружности. 57

Краткое содержание статьи. 57

Объемная модель различных геометрий. 58

Окружности в разных геометриях. 60

Плоская модель различных геометрий. 61

Связь плоской и пространственной моделей. 62

Плодотворность плоской модели. 63

Сумма углов треугольника или «углы в трехокружнике». 63

Изогональные окружности. 64

Ориентация и расположение углов. 65

Теорема о пересечении биссектрис трех окружностей и неевклидовы геометрии. 66

Статья 8. Завершение задачи Аполлония и другие задачи на построение. 66

Краткое содержание статьи. 66

Возвращение к задаче Аполлония (с того места, как мы оставили ее в ст. 6) 66

Однотипные задачи на построение. 67

Построение изогональных окружностей к трем данным А, В, С и завершение задачи Аполлония. 69

Небольшое применение теории групп приводит к большому упрощению. 70

Алгоритм для задачи Аполлония. 71

Теорема о композиции инверсий одного пучка. 72

Геометрические выводы. 72

Статья 9. Шесть замечательных точек геометрии окружностей. Угол между окружностями. 74

Краткое содержание статьи. 74

Теорема об отображении трех точек. 74

Шесть замечательных точек. 76

Подсчет углов в трехокружнике. 77