Четыре касающиеся друг друга сферы.

Три касающиеся друг друга окружности имеют три точки касания. Эти три точки касания заведомо лежат на одной окружности, т.к. через три любые точки можно провести единственную окружность. 4 касающиеся друг друга сферы имеют шесть точек касания. 6 точек в пространстве вовсе не обязательно лежат на одной сфере (сферу задают 4 точки не лежащие на одной окружности). Докажем, что все 6 точек касания 4 сфер – лежат на одной сфере. Нам потребуются две леммы.

1. Если сферы А, В, C, D касаются друг друга по цепочке (не разделяя друг друга), то точки их касания лежат на одной окружности.

2. Три взаимно пересекающиеся в 6 точках окружности лежат на одной сфере.

Первое можно доказать, рассматривая инверсии в пространстве, аналогично тому, как мы поступали, рассматривая 4 касающиеся друг друга по цепочке окружности. Но можно доказать иначе. Пусть А касается В, В касается С, С касается D, D касается А. Точки касания обозначим соответственно АВ, ВС, СD, DA. Проведем через эти четыре точки касания какую-нибудь сферу S. Она пересечет сферу А по окружности, обозначим эту окружность SA, сферу B по окружности SB, сферу С по окружности SC, сферу D по окружности SD. Окружности SA, SB, SC, SD касаются друг друга по цепочке в тех же точках, что и сферы А, В, С, D. Значит, эти точки лежат на одной окружности (т.к. точки касания построенных окружностей – лежат на одной окружности). что и требовалось.

Докажем 2. Две пересекающиеся окружности задаются четырьмя точками (две точки пересечения и еще по одной точке на каждой окружности). Проведем через эти четыре точки сферу, обе пересекающиеся окружности лежат на ней. Третья окружность по условию, пересекается с этими двумя в разных точках, поэтому имеет с этой сферой 4 общие точки, значит – лежит на этой сфере. Что и требовалось.

Теперь докажем, что шесть точек касания сфер А, В, С, D – лежат на одной сфере. Для доказательства мы используем построение, аналогичное рис 27. Мы будем группировать сферы А, В, С, D так, чтобы они образовывали цепочку, точки касания будут лежать в каждом случае – на одной окружности, эти окружности пересекаются (в точках касания сфер). Поэтому окружности, а значит и точки касания сфер – лежат на одной сфере. Точки касания сфер будем обозначать аналогично тому, как обозначали точки касания окружностей. Именно: точки АВ, ВС, CD, DA – на одной окружности S1, АС, СD, DB, BA – на одной окружности S2, AD, DB, BC, CA – на одной окружности S3.

Рассмотрим три окружности S1, S2, S3. S1 пересекается с S2 в точках CD, BA. S1 пересекается с S3 в АD и ВС. S2 пересекается с S3 в АС и DB. По лемме 2 S1, S2, S3 лежат на одной сфере. Значит на одной сфере лежат и все точки касания А, В, С, D. Обозначим эту сферу S. Если провести ее и изобразить ее пересечение со сферами А, В, С, D то получим рисунки 27 и 28. S ортогональна всем четырем исходным сферам. Но это мы здесь доказывать не будем.

Теорема Штайнера о системе касающихся друг друга окружностей.

Напоследок мы в этой статье докажем теорему Штайнера. Доказательство покажет нам эффективность понятия изоморфизм и даст повод подробней рассмотреть мнимый пучок окружностей. Формулировка теоремы: Пусть есть две окружности А и В, в лежит внутри А. возьмем произвольную окружность С1, лежащую внутри А, вне В и касающуюся их обеих. построим теперь систему окружностей С2, С3, С4… такую, что каждая из них касается предыдущей и обе исходные окружности А и В.

Рисунок 31.

(описанная система окружностей. Окружности СК окружают В как лепестки и ограничены окружностью А, охватывающей их как лассо)

Возможно, что как изображено на рисунке, построение замкнется, какая-нибудь окружность СК коснется С1. Тогда можно подсчитать, сколько окружностей участвует в цепочке. возможно, что построение никогда не замкнется. Теорема утверждает, что результат (количество окружностей в цепочке и замыкается ли она) не зависит от выбора окружности С1, стартовой окружности для построения. Т.е., что если мы возьмем какую-нибудь другую окружность D1 касающуюся А и В и расположенную вне В и внутри А и построим цепочку окружностей D1, D2, D3… то если замыкается цепочка СК, то замыкается и цепочка DК и число окружностей в двух цепочках – одинаково.

Доказательство.

1. предположим, что окружности А и В – концентрические, т.е. их центры – совпадают.

Рисунок 32.

(аналогичен рис. 31, но А и В концентрические)

Тогда мы можем повернуть все окружности в цепочке относительного общего центра А и В так, чтобы окружность С1 совпала с окружностью D1 легко видеть, что при этом окружность C2 совпадет с D2 и окружность СК с окружностью DK. Сами же окружности А и В – останутся на месте. Тем самым установлен изоморфизм между цепочками СK и DK (точное определение изоморфизма см. в конце статьи) двух цепочек СК и DК. Все свойства одной есть и у другой. Значит в них одинаковое число окружностей. Что и требовалось.

2. Общий случай. Окружности А и В не концентрические. Покажем, что в этом случае можно с помощью одной инверсии перейти к концентрическим окружностям. Пусть P и Q – центры пучка, образованного окружностями А и В. Осуществим какую-нибудь инверсию I с центром в одном из центров пучка, например, в Р. Р перейдет в бесконечно удаленную точку. Рассмотрим пучок, образованный окружностями С=I(B) и I(A)=D. его центры – I(P) и I(Q). I(P) – бесконечно удаленная точка. Т.к. бесконечно удаленная точка сопряжена с центром окружности (относительно этой окружности), то центры окружностей С и D – совпадают (и являются вторым центром пучка, образованного С и D, точкой I(Q)).

Дадим и второе доказательство этого факта. Рассмотрим пучок окружностей, ортогональных А и В. все они проходят через P и Q. при любой инверсии I с центром в Р окружности этого пучка перейдут в прямые, пересекающиеся в точке I(Q).

Рисунок 32.

(окружности I(A) и I(B), точка I(Q), прямые, проходящие через точку I(Q))

Окружности I(A) и I(B) должны быть ортогональны всем этим прямым. Но это возможно, только если их центры – совпадают и есть точка пересечения этих прямых, т.е. I(Q). (Прямая ортогональна окружности тогда и только тогда, когда проходит через ее центр). Следовательно, I(A) и I(B) – имеют общий центр. Итак, мы доказали что одной инверсией можно перевести две произвольные, не имеющие общих точек окружности в концентрические окружности. Значит, пучок окружностей, не имеющих общих точек устроен также, как пучок концентрических окружностей. Аналогично этому, пучок пересекающихся окружностей подобен (или изоморфен) пучку прямых, проходящих через одну точку.

Теперь докажем теорему Штайнера.

Пусть цепочка C1, C2, C3, … замыкается на шаге К, т.е. СК касается C1. покажем, что и любая другая цепочка D1, D2, D3, … замкнется на этом же шаге К. Рассмотрим инверсию I, отображающую А и В в концентрические окружности. Цепочка СК перейдет в цепочку I(C1), I(C2), I(C3),… построенную уже на концентрических окружностях I(A) и I(B), цепочка DK в цепочку I(D1), I(D2), I(D3),… также построенную на I(A) и I(B). Ранее было доказано, что если I(C1) касается I(CK), то и I(DK) касается I(D1) (т.к. это цепочки построенные на двух концентрических окружностях). Но если I(DK) касается D1, то DK касается D1 (инверсия переводит касающиеся окружности в касающиеся). Что и требовалось.

Заметим, что у данной теоремы есть и более короткое доказательство. Необязательно рассматривать концентрические окружности. Пусть на рис. 31 есть две цепочки окружностей: С1, С2,… СК и D1, D2,… DK. С помощью композиции двух инверсий можно отобразить С1 в D1 так, что А и В останутся неподвижными, С2 перейдет в D2 и т.д. Это докажет, что у цепочек СК и DK – одинаковые свойства, т.е. если замыкается одна, то замыкается и другая и число звеньев – одинаково. Мы не будем рассматривать здесь эту композицию, предоставляю читателю сделать это самостоятельно. Впрочем эта композиция будет указана в статье, где мы разберем траектории движения точек и окружностей.

Рассмотренное доказательство дало нам повод свести свойства пучка окружностей, не имеющих общих точек к свойствам семейства концентрических окружностей. Для концентрических окружностей тривиально доказать, что композиция трех инверсий – снова инверсия (относительно окружности из этого же концентрического пучка), а композиция двух инверсий – подобие (или гомотетия) с центром в центре окружностей. (Отсюда и следует, что композиция трех инверсий – снова инверсия).

В ходе доказательства теоремы Штайнера (а на самом деле и во многих других местах) мы использовали понятие «изоморфизм». Это – очень общее понятие, используемое во многих разделах математики.. В школьной геометрии его аналог – понятие «конгруэнтности фигур». Сейчас я дам определение изоморфизма, пригодное в контексте геометрии окружности. Пусть у нас есть два набора объектов (точек, окружностей или каких-то других объектов). Первый набор: P1, P2, P3,… Второй: Q1, Q2, Q3,… И есть взаимнооднозначное отображение f из первого набора во второй: f(P1)=Q1, f(P2)=Q2, f(P3)=Q3 и т.д. причем все свойства между объектами первого набора (углы, симметричность и т.п.) не изменяются при отображении f. Тогда отображение f называется изоморфизмом между двумя этими наборами объектов.

Если нам надо доказать что-то про объекты Р1, Р2, Р3… и f – изоморфизм, то мы можем доказать требуемое для f(P1), f(P2), f(P3)… Результат будет верен и для объектов Р1, Р2, Р3… Мы пользовались этим часто, например, когда использовали инверсию I, превращающую некоторые окружности в прямые и доказывали теорему про прямые, что было привычней. Например, так устроено «школьное», первое доказательство теоремы о пучках. Также мы устанавливали изоморфизм между пучком пересекающихся окружностей и пучком прямых, проходящих через одну точку, а недавно мы установили изоморфизм между пучком окружностей не имеющих общих точек и концентрическими окружностями.

Изоморфизм в математике – тоже, что точное сравнение в литературе.