Разные случаи расположения окружностей, касающихся двух данных.

Если окружности А и В пересекаются, то окружности, касающиеся их обеих разбиваются на два семейства.

Рисунок 10.

(две пересекающиеся окружности А и В, различные окружности, касающиеся их обеих, две биссектрисы между А и В)

Одно семейство окружностей лежит внутри пересечения А и В и – вне обеих окружностей. Другое семейство – в части А без В и в части В без А. Первое семейство ортогонально одной биссектрисе между А и В, второе – второй биссектрисе. Доказательство этой ортогональности аналогично рассмотренному ранее случаю (когда А и В не пересекались). простой частный случай: окружности, касающиеся двух пересекающихся прямых.

Рисунок 11.

(две пересекающиеся прямые и окружности, касающиеся их)

Если А и В не имеют общих точек, то также есть два семейства окружностей, касающихся их одновременно.

Рисунок 12.

(две не имеющие общих точек окружности А и В, несколько касающихся их обеих окружностей и биссектриса между ними)

В одном семействе – окружности, не разделяющие А и В. Члены этого семейства ортогональны биссектрисе между А и В. В другом семействе – окружности, разделяющие А и В. Ранее мы такие окружности не рассматривали. Заметим, что все члены этого семейства – пересекаются между собой. Можно доказать, что есть мнимая инверсия I, такая, что I(A)=B и все окружности второго семейства при этой мнимой инверсии – переходят в себя (иначе говоря, ортогональны мнимой инверсии). Отсюда следует, что при этой инверсии точки касания меняются местами.

Как найти центры этих инверсий (обеих, действительной и мнимой биссектрис)? Есть много способов. Например, проведем прямую через центры окружностей. Центр искомой инверсии будет лежать на ней. Далее – проведем прямые, касающиеся обеих окружностей. Одним способом:

Рисунок 13.

(не имеющие общих точек окружности А и В, касающиеся их прямые L1 и L2, причем прямые не разделяют А и В. Точка пересечения L1 и L2 – O, прямая, проходящая через центры А и В, точки А1, А2 и В1, В2 в которых эта прямая пересекается с окружностями А и В. О лежит на этой прямой)

Чтобы найти радиус инверсии достаточно заметить, что при этой инверсии пара точек А1, А2 перейдет в пару точек В1, В2. А2 в В1, А1 в В2. (это можно видеть, напр., построив окружности, касающиеся А и В в этих точках). Поэтому радиус равен корню квадратному из произведения |O, A1|*|O, B1| или из |O, A1|*|O, B2| (предоставляю читателю самостоятельно доказать, что эти произведения равны, используя школьную планиметрию. А какой будет биссектриса, если L1 параллельна L2?)

Но можно провести и другую пару касательных прямых к А и В.

Рисунок 14.

(аналогичен пред. рисунку, но прямые L1 и L2 разделяют окружности А и В)

Точка их пересечения О снова будет центром инверсии, меняющей местами А и В, но это будет мнимая инверсия. I как и в прошлом случае отображает пару точек А1, А2 в пару точек В1, В2, но теперь I(A1)=B1, I(A2)=B2. Точка О разделяет образ и прообраз при этой инверсии, что есть признак мнимой мнимой инверсии. Радиус этой мнимой инверсии аналогично прошлому случаю, найдем как корень квадратный из произведения |O, A1|*|O, B1| или из |O, A2|*|O, B2|.

Если исходные окружности А и В касаются друг друга, то все окружности касательного пучка (А, В) – иначе говоря: окружности, проходящие через их точку касания и касающиеся А и В – разумеется, касаются А и В. Но обычно члены этого пучка как раз не рассматривают, когда ищут окружности, касающиеся А и В. Тогда остается одно семейство касающихся А и В окружностей. Эти окружности не разделяют А и В и ортогональны единственной биссектрисе между А и В.

Рисунок 15.

(Касающиеся друг друга окружности А и В, окружности, касающиеся их и биссектриса между А и В).

Чтобы найти биссектрису между А и В, проведем, как и ранее, прямую через центры А и В и две касающиеся их одновременно прямые.

Рисунок 16.

(Касающиеся друг друга в точке Р окружности А и В, проходящая через их центры прямая и три точки пересечения ее с окружностями А и В (А1, Р, В1), прямые L1 и L2, пересекающиеся в точке О. Рисунок аналогичен рис. 13)

Если I – биссектриса между А и В, I(A)=B, то точка касания, Р – остается неподвижной, т.е. лежит на окружности инверсии I(P)=P. Центр инверсии, О – точка пересечения L1 и L2, |O, P| – радиус инверсии, I(A1)=B1, |O, A1|*|O, B1|=|O, P|*|O, P|. А сделать рисунок, аналогичный рисунку 14 – при касающихся А и В не удастся. Вернемся к рис. 13. Если точки А2 и В1 очень близки, то он становится похож на рис. 16, который есть «предельный случай» (когда эти точки совпали в точке Р и их уже нельзя разделить).

Предложенный способ построения биссектрис не работает, если одна из исходных окружностей лежит внутри другой.

Рисунок 17.

(В лежит внутри окружности А)

Предоставляю читателю самостоятельно его разобрать. Впрочем в следующих статьях серии будет показано, как строить биссектрисы вовсе не проводя прямые. (В конце-концов в геометрии окружности не стоит придавать прямым особое значение. Но и глупо было бы не использовать совсем то, чему научились в геометрии прямых, планиметрии).

Разобрав разные виды касающихся окружностей – докажем теорему о них.

Пусть А и В – не имеющие общих точек окружности.

Рисунок 18.

(описанная ниже система шести окружностей)

Выберем на А какую-либо точку Р1, проведем через нее окружность С, касающаяся А и В. Она касается В в какой-то точке Р2. Проведем через Р2 окружность D, касающуюся А и В (она будет из другого семейства, чем С). Окружность D касается А в точке Р3. Проведем через Р3 окружность Е, касающуюся А и В (она будет другого семейства, чем D) и будет касаться В в точке Р4.

Утверждается, что окружность, проходящая через точку Р4 и касающаяся А и В (она снова будет другого семейства, чем предыдущая) – снова проходит через Р1 (построение замыкается). Для доказательства используем теорему о пучках (ст. 2)

Рассмотрим 4 окружности А, В, Е, С. Пара (А, Е) – задает один пучок касающихся окружностей, пара В и С – другой. Окружность D лежит в обоих этих пучках, соединяет их. по теореме о двух пучках если соединимы пучки (А, Е) и (В, С) то соединимы и пучки (Е, В) и (А, С) значит существует окружность F касающаяся Е и В в точке Р4 и А и С в точке Р1. Что и требовалось.

Заметим, что мы могли бы начать построение с пересекающихся окружностей F и D и точки Р1, лежащей на F, построили бы касающиеся их с разных сторон окружности А, С, В, Е – теорема утверждала бы, что Е замкнет построение, касаясь А в точке Р3. Заметим еще, что точки Р1, Р2, Р3, Р4 – лежат на одной окружности, ортогональной всем шести окружностям рис. 18. Это следует из того, что окружность, проходящая через точки Р1, Р3, Р3 ортогональна А, С, D – т.к. эти три окружности все касаются друг друга в этих точках. Также и про оставшиеся три окружности доказывается, что они ортогональны проведенной через точки касания окружности.

Теперь мы отдохнем от касающихся окружностей и рассмотрим теоремы о пересекающихся.