ALGEBRA_PEChAT

1.Действия с матрицами.

Матрицей размера m*n называют прямоугольную таблицу чисел, состоящую из m-строк и n-столбцов. Элементы-числа входящие в матрицу. Матрица квадратная если m=n. Матрицы равны если их размерность совпадает и равны соответствующие элементы. Виды матрицы: матрица-строка, матрица-столбец, верхне(нижне)-треугольная, диагональная, единичная(диагональная на диагонали=1), нулевая матрица.

Операции над матрицами: 1) Умножение матрицы на число. Каждый элемент умножается на число. 2) Сложение. Матрицы должны быть одноразмерными, складывают соотв элементы.. Вычитание аналогично. 3) Умножение матриц. Кол-во столб 1 = колво строк 2 матрицы. Строка умножается на столбец. 4) Возведение в целую положит степень N имеет место только для квадратных матриц. Умножаем матрицу на себя N раз. 5) Транспонирование. Меняем строки и столбцы местами.

Определитель. Определителем квадратной матрицы А называют число, которое обозн |A| или и вычисляют по следующим правилам.

1) Определитель матрицы 1 порядка-сам элемент.

2) Определ матр 2 порядка- произведен главной диагонали минус произв побочн диагонали.

3) Для кубических матриц правило треугольников. Главная диаг + 2 треуг – побочн диаг-2 треуг. =(1*3*3)+(2*5*4)+(2*5*3)-(4*3*3)-(2*2*3)-(5*5*1)=6

4) Приведениие матриц к верхнетреугольному виду.

=1*-1*-6=6

5) Понижение порядка (накапливание нулей и вычеркивание)

=1*(9-3)=6

6) Разложение по элементам строки (столбца)

=6

Пусть дана квадратная матрица n-порядка. Минором элемента из матрицы А называют определитель матрицы, получено из матрицы А путем вычеркивания i-ой строки и j-ого столбца. Алгебраическим дополнением элемента из матрицы А есть минор взятый со знаком

Имеет место теорема: Определитель квадратной матрицы=сумме произведение любой строки на их алгебраическое дополнение. Следствие:1) Определитель треуг матрицы= произведению элементов её главн диагонали. 2) Если матр содержит строку(столб) в которой все эл-ты ,кроме одного, =0 то её определ = произвед отличного от нуля эл-та на его алгебр дополн

2. Обратная матрица. Критерий обратимости. Способы вычисления.

Опр:Матрица называется обратной матрицей по отношению к квадратной А если выполняется . Из определения следует что если А n-ого порядка то и тоже n-ого порядка. Если то матрица называется обратимой (невырожденной), иначе матрица необратима

Теорема(необх и дост услов сущ обратн матрицы):Обратная матрица существует (и единственна) т и тт,когда исходная матрица обратима(∆А≠0)

Док-во: Матрица А обратима, т.е сущ обратная . По определению обратной матрицы: . Отсюда следует что . Предположим что |A|=0, но тогда 0=1 что невозможно, значит |A|≠0

Способ вычисления(присоединённая матрица):

Находим определитель данной матрицы А.Если ∆А≠0 то имеет смысл нахождение обратной матрицы.Транспонируем матрицу.Находим алгебраические дополнения каждого элемента данной матрицы(элемент не умножаем на дополнение!!!). Записываем их соответсвенно в матрицу А^-1 и умножаем ее на дробь 1/∆А.Выполняем проверку А*А^-1=Е.

Способ вычисления(единичная матрица): Справа от матр А “приписываем” единичную матрицу Е. С помощью элемент преобр получаем на месте А единичную Е,тогда на месте Е получим

3. Определители квадратных матриц. Св-ва. Теорема Крамера.

Определитель. Определителем квадратной матрицы А называют число, которое обозн |A| или и вычисляют по следующим правилам.

1) Определитель матрицы 1 порядка-сам элемент.

2) Определ матр 2 порядка- произведен главной диагонали минус произв побочн диагонали.

3) Для кубических матриц правило треугольников. Главная диаг + 2 треуг – побочн диаг-2 треуг.

4) Приведениие матриц к верхнетреугольному виду.

5) Понижение порядка (накапливание нулей и вычеркивание)

6) Разложение по элементам строки (столбца)

Свойства:

1) При транспонировании матрицы её определитель не меняется.

Док-во:Разложим сначала определитель матрицы по элементам первого столбца. Затем разложим определитель транспонир матр по эл-м первой строки. Они идентичны

2)Если матрица содержит нулевую строку(столбец) то её определ=0

Док-во:Разложим определит по элементам нулевой строки. Естественно получим 0

3)Если какую-либо строку(столб) умножить на λ≠0 то определитель также увелич в λ раз

4)Если поменять местами 2строки(столба) то знак определ изменится на противоположн

5)Если матр содержит 2 равные строки(столбца) то её определ =0

Док-во:Поменяем местами равные строки.Тогда знак определ изменится на противопол (св-во 4).Но по абсолютной величине определит не изменится (строки то равны),т.е ∆А=-∆А.Это возможно только если А=0 Теорема доказана

6)Если матрица содержит 2 пропорц строки(столба) то её определ=0

Док-во: Пропорциональность означает,что строкаК=λстрокS. Так как строки К и S явл строками одной матр,то определители должны быть равны,т.е ∆A_k=∆A_s =>∆A_λs=∆A_s => λ∆A_s=∆A_s а это возможно только если ∆A=0

7)Сумма произвед эл-в строки на алгебр дополн другой строки =0

8)Если какую-либо строку умножить на λ и прибавить к другой строке,то значение определ не изменится

Это способ используется только для квадратных систем (кол-во перем = кол-во уравн)

Теорема: Пусть ∆ -определитель основной матрицы системы, ∆_j- определитель матрицы,полученной путём замены j-ого столбца на коэффициенты свободных членов.Тогда если ∆≠0 (если ∆=0 то нет решений), то система имеет единственное решение, которое можно найти x_j=∆_j/∆ Это и есть формула Крамера

4.СЛАУ. Метод Гаусса.

где а-коэфф при переменных, х-переменные, b-свободные члены.

А-основная матрица системы, В-расширенная матрица системы.

Опр:Решением системы называется упорядоченный набор чисел, при подстановке которых получается система верных числовых равенств.Система квадратная,если кол-во переменн=кол-ву уравн.Решить систему означает наити все ее решения или показать,что система не имеет решений

Система может иметь 1 решение,иметь мн-во решений,не иметь решений.Две системы эквивалентны,если мн-ва их решений совпадают.Системы,не имеющие решений считаются эквивалентными

Элемент преобр:Менять местами уравнения,умнож обеих частей на ≠0 число(и + к др уравн),искл и присоед к системе ур-ий с нулевыми элементами

Теорема:Если одна система получена из другой путем элемент преобр,то их решения эквивал

Опр: Рангом матрицы А называется нивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы

Метод Гаусса-метод последоват искл переменных путем элемент преобр,в результ чего система сводится к равносильной системе ступенчатого (треугольн) вида,из которой последовательно находятся переменные.

Если ранг полученной матрицы равен кол-ву переменн,то система имеет 1 решение, если ранг<кол-ва перем,то бесконечное мн-во решений и необходимо выражать главные переменные через свободные

5. Поле комплекс чисел. Действия в тригон и алгебр форме.

Рассм-м мн-во, состоящее из всех упорядоченных пар действит чисел ℂ ={(a;b)|aєR,bєR}

Введем на данном мн-ве аксиомы

1)2 пары (a;b)и(c;d)равные,если a=c;b=d

2)Суммой 2 пар (a;b)и(c;d) есть пара (a+c;b+d)

3)Произвед (a;b)на(c;d) есть пара (ac-bd;ad+bc)

4)Пару (a;0) будем считать тождественой числу a

Проверим,образует ли мн-во ℂ относительно “+”и”*” поле:

Проверка”+”:

I)Замкн(a;b)+(c;d)=(a+ c;b +d) єℂ II)Ассоц(a;b)+((c;d)+(m;n))=((a;b)+(c;d))+(m;n)=((a;b)+(m;n))+(c;d)

III)Коммут(a;b)+(c;d)=(a+c;b+d)=(c+a;d+b)

IV)Нейтрал (0;0)

V)Противоп (-a;-b)

Проверка”*”:

I)Замкн(a;b)*(c;d)=(ac-bd;ad+bc)єℂ

II)Коммут(ac-bd;ad+bc)=(ca-db;cb+da)

III)Ассоц(подобно сложению)

IV)Дистриб”*”относит”+”: ((a;b)+(c;d))*(m;n)=(a;b)(m;n)+(c;d)(m;n)

V)Нейтрал (a;b)*(x;y)=(a;b)(ax-by;ay+bx)=(a;b) ==

VI)Обратн(a;b)*(x;y)=(1;0)

==

VII)Нейтр по “+” не равен неитр по”*”

Таким образом мн-во ℂ с заданными опрециями “+”и”*” образует поле-поле комплексных чисел

Алгебраическая форма комплексного числа

Р.м пару (0:1)єℂ. Умножим на себя (0:1)*(0:1)=(-1:0)=-1. Обозначим (0:1) через i. Получим i2=-1-мнимая единица

Алгебраическая форма a+bi=z, где а-действит,b-мнимая части. 2 компл числа равные,если равны их действ и мнимые части.

Действия над z₁=a+bi;z₂=c+di:

1)Сложение (a+c)+i(b+d)

2)Вычитание (a-c)+i(b-d)

3)Произведение (ac-db)+i(ad+bc)

4)Деление = Тогда (+) +i(+). Действия с ℂ в алгебр.форме можно выполнять как действия с многочленами относит i(учит, что i²=-1)

Чтобы разделить 2 ℂ, можно умножить числит и знаменат дроби на число, сопряж знаменателю.Тогда знамен не будет содержать i и мы сможем записать частное в алгебр.форме ===

При решении задач полезно помнить:

1)Для ℂ записан в алг виде выполн все формул сокращ умнож

2)i¹=i i²=-1 i³=-i i⁴=1 т.е i^4k=1 i²⁷=i²⁴*i³=-i

Извлечение квадр.корня из ℂ в алг форме.

Опр:Квадр корн из компл числа z есть такое число ω,квадрат которого равен z т.е ω²=z

Теор:Пусть z=a+bi≠0, тогда существ 2 противоп компл.числа, квадрат которых=z. Тогда если b=0, то z=a имеем

Если b≠0 то =±(i)

Док-ВО!!! ω²=z.Пусть ω=u+via+bi=(u+vi)²a+bi=u²+v²+2uvi. Получим систему

Рассмотрим 2 случая: I)b=0=>2uv=0=>

II)b≠0 Из(2)имеем v=  u²-()2=au²-=a=0

Р.м числитель и решим ур-е. Замена u²=t. Имеем 4t2-4at-b2=0

Получим t1=. Вернемся к замене и получим u=. Теперь из (2) выразим v и в итоге получим v=. Получили,что при b>0=>v=+√ а при b<0=> v=-√…..Таким образом, числа u и v имеют одинаковые знаки при b>0 и разные знаки при b<0. В итоге ω=±(i)

Тригонометрич форма записи компл числа

Любое ℂ z=a+bi можно изобр точкой с коорд (a;b) на корд пл-ти. Р.м ПДСК. Каждой точке корд.пл-ти ХОУ соответств единственное ℂ=> для каждого ℂ мы можем указать единств точку в пл-ти ХОУ.Таким образом между мн-м ℂ и мн-м точек корд пл-ти устанавл взаимооднозначное

соответствие.В этом случае пл-ть ХОУ называют комплексной пл-тью. Ось ОХ-действ ось, ось ОУ-мнимая ось. Начало корд соотв z=0+0i.

Р.м точку M=a+bi. (1)

Опр:Модуль-расст от начала корд до компл.точки r=|z|=. Опр:Аргумент - угол φ м\у положит направл оси ОХ и лучом ОМ, измеряемый против часовой стрелки arg z= φ+2πn (где nєZ)

Главный аргумент arg z= φ, φє[0;2π].Имеем a=r*cosφ и b=r*sinφ (2). Подставив (2) в (1) получим M=r(cosφ+isinφ)-тригон форма записи компл.числа.

Чтобы записать комп.числ в тригон форме необходимо:

1)Найти модуль r=.

2)Найти аргумент числа argz=φ где cosφ=a/r и sinφ=b/r

3)Записать число в тригон форме

Операции над компл.числ. в тригон форме

Пусть даны 2 компл.числа z₁=r₁(cosφ₁+isinφ₁) и z₂=r₂(cosφ₂+isinφ₂).

1)Умножение z₁*z₂=r₁*r₂(cosφ₁+isinφ₁)(cosφ₂+isinφ₂)=

=r₁*r₂*(cosφ₁*cosφ₂-sinφ₁*sinφ₂+i(cosφ₁*sinφ₁ +sinφ₁*cosφ₂))=

=r₁*r₂(cos(φ₁+ φ₂)+isin(φ₁+ φ₂))

При умножении 2 комп.чис в тригон форме их модули перемножаются, а аргументы складываются

2)Деление z₁/z₂. Умножим числит и знамен на число cosφ₂-isinφ₂ Получим

=== При делении 2 компл чисел в тригон.форме их модули делятся, а аргументы вычитаются

3)Возведение в n-ую степень. Пользуются формулой Муавра, которая гласит zⁿ=rⁿ(cos(n*φ)+isin(n*φ)). При возведении комп.числа в n-ую степень модуль этого числа возводят в степень, а аргумент умножают на показатель степени.

Извлечение корня n-степени из тригон.формы.Геом смысл

=*(cos+isin)

Чтобы извлечь корень из компл.числа,надо извл корень из модуля,,а аргумент разделить на показатель степени.Необходимо помнить ,что извлекая корень из n-ой степени мы должна получить n корней!!!

k=0,1,2…n-1

Пример==cos+isin) k=0,1,2..n-1

Можно показать, что извлекая корень n-ой степени можно найти один корень, а затем умножить этот корень на все корни той же степени из единицы, и мы в итоге получим все корни данного числа.

С геом.точки зрения корни n-ой степ являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность с R= и с центром в начале координат.

6. Корни многочлена. Теорема Безу. Виета. Схема Горнера.

Опр:Многочленом от действительной переменной x понимается функция f:R->R, заданная правилом

f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1++++a₁x¹+a₀ где коэффициенты a₀..a_n-действительные числа

Элемент a_nxⁿ-старший член многочлена, показатель n-степнь многочлена(обозначается deg f=n)

Многочлен 0xⁿ+0x^n-1+++0x+0 называется нулевым.Если элемент a_n=1 то многочлен называется нормированным

1)Два многочлена равны титт,когда равны их соответств коэфф,т.е коэфф при одинаковых степенях х

2)При сложении многочленов f и g вновь получается многчлен,коэфф которго равны сумме соответств кoэфф многочленов f и g

3)Произвед 2 многочл с коэфф ai и bj есть многочлен с коэфф c_k= где k=0,1,2….

Корни многочлена.

Опр:Число х₀ принадлежащее полю многочлена явл корнем многочлена f(x),если f(x₀)=0

Теор:Для того чтобы х₀єР являлось корнем многочлена f(x) необходимо и достаточно чтобы многочлен делился на х-х₀ без остатка

Док-во:Необходимость:Дано х₀- корень f(x)

Доказать f(x):(х-х₀)

Док-во:Если х₀ –корень f(x) то f(x₀)=0

По теор Безу f(α)=(х-α)g(x)+R=R => f(x₀)=(x-x₀)*g(x)+R=R=>

R=0 => f(x)=(x-x₀)*g(x)=> f(x) :(х-х0).

Достаточность:Дано f(x) :(х-х0)

Доказать что х0- корень f(x)

Док-во:

f(x) :(х-х0)=> f(x) = (х-х0)*g(x) Найдем f(x0) и получим

f(x₀) =(х-х₀)*g(x₀)=0 =>x₀- корень f(x).

Теор:Многочлен f(x)степени n≥1 может иметь не более n корней с учетом их кратности

Док-во:Известно,что если x₀-корень f(x) то f(x):(x-x₀) Пусть х₁-корень f(x).Тогда f(x)=(x-x₁)g₁(x) где degf(x)>degg₁(x) Если g₁(x) не имеет корней,то х1-простой корень. Если же сущ х₂-корень g₁(x) то имеем f(x)=(x-x₁)(х-х₂)g₂(x) где degg₁(x)>degg₂(x) Если х₃-корень g₂(x) то получим f(x)=(x-x₁)(х-х₂)(х-х3)g₃(x)……Этот процесс не может продолжаться бесконечно,т.к степени постоянно уменьшаются. Заметим,что в выржении f(x)=(x-x₁)(х-х₂)(х-х3)g₃(x) в правой части множителей не может быть >n, иначе л.ч и п.ч будут неравны.Значит многочлен не может иметь больше n корней

Многочлены над полем рац.чисел.Целые корни мнгчлн

Коэфф многочлена f(x) над полем рац.чисел могут быть как целые,так и дробнае числа.Любой дробн коэфф можно привести к целому числу, в результате преобразований корни многочлена не изменятся.

Теор:Если коэфф старшего члена многочлена f(x) равен 1, то имеем только целые рац.корни, если они существуют.

Док-во:Дано: f(x)= xⁿ+a_n-1x^n-1++++a₁x¹+a₀ p/q-корень.

Доказать: Z => q=1

Док-во:если –корень, то по определению:

ⁿ+a _n-1(^n-1+…+a₁ +a₀=0

pⁿ/qⁿ+a^n-1_*(p ^n-1/q ^n-1)+…+a₁ +a₀=0 (умножаем все на q ^n-1)

pⁿ/q+a_n-1p^n-1+…+a₁p*q^n-2+a₀q^n-1=0

pⁿ/q=-(a_n-1p^n-1+…+a₁pq^n-2+a₀q^n-1)=> pⁿ/qZ =>q=1

Пусть дан многочлен f(x) = а_nхⁿ+а _n-1х^n-1+…+а₁х+а₀

если а_n1, то f(x) может иметь как целые так и дробные рац корни.

Теор:Целые рац.корни находятся среди делителей свободного коэфф

Док-во:Пусть α-корень f(x) тогда f(α)= a _nα ⁿ+a_n-1α ^n-1++a₁α ¹+a₀

Получим a₀=-α(a_nα ^n-1+a_n-1α ^n-2++a₁α⁰) Обозначим(a_nα ^n-1+a_n-1α ^n-2++a₁α⁰)=С и получим а₀=αСα=

Многочлены над полем рац.чисел. Дробн корни мнгчлн.

Теор:Если несократимая дробь -явл корнем многочлена f(x) то число р –явл делителем свободного коэффициента

а₀:р, а q-делитель старшего член а_n:q

Док-во: -корень => f()=0 => a_nⁿ+a_n-1^n-1+…+a₁+a₀=0

a_n*pⁿ/qⁿ+a_n-1*p^n-1/q^n-1+…+a₁ +a₀=0 (*qⁿ)

(1)a_npⁿ+a _n-1 p ^n-1*q+…+a₁p*q ^n-1 +a₀qⁿ=0

a_oqⁿ=-a_npⁿ-a_n-1p ^n-1 q+…+a₁pq ^n-1 =p(-a_np^n-1-a _n-1 p ^n-2 q+…+(-a₁q ^n-1 ))Обозначим через С

a₀qⁿ=p*С

т.е. a₀qⁿ :р дробь –несократ, поэтому qⁿ_/ ^/ p =>a₀p

(1) =>a_npⁿ=-a _n-1 p ^n-1 q-…-a₁pq ^n-1 q –a₀qⁿ=q(-a _n-1 p ^n-1 -…-a₁pq ^n-2 –a₀q ^n-1)

a_npⁿ=q*c₁

т.е. a_npⁿ q но pⁿ_/ ^/ q => a_nq.

замечания

Значение коэффициентов а₀ и а_n могут быть достаточно большим и иметь много делителей

Теорема Безу.Схема Горнера

При решении ряда задач существует необходимость разделить f(x) на линейный (х-), где α-const. Существ рац.способ

Опр:Значение многочлена f(x) при х=α называют число f(α),полученное в результате подстановки x=α

Теор:Значения f(x) при x=α равно остатку от деления f(x) на х-α

φ(α)=x-α f(x)= φ(α)*g(x)+r(x) deg(g(x))=n-1 deg(r(x))<1=R=const

Док-во:Док-ть:f(α)=R

Док-во:f(α)=(x-α)g(x)+R Так как в нашем случае x=α то имеем f(α)=(x-x)g(x)+R=R. Теор доказана

Схема Горнера: f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1++++a₁x¹+a₀ ; φ(α)=x-α ;

f(x)= φ(α)*g(x)+r(x)=(x-α)g(x)+r(x)

g(x)= b_nx^n-1+b_n-1x^n-2++++b₂x¹+b₁

f(x)=(x-α)(b_nx^n-1+b_n-1x^n-2++++b₂x¹+b₁)+R=b_nxⁿ+x^n-1(-αb_n+b_n-1)+ x^n-1(-αb_n-1+b_n-2)+x²(-αb₃+b₂)+x(-αb₂+b₁)+αb₁+R

Следуя из определения равенства многочленов получим

a_n=b_n b_n=a_n

a_n-1=-αb_n+b_n-1 b_n-1= αb_n+a_n-1

a_n-2=-αb_n-1+b_n-2 b_n-2= αb_n-1+a_n-2

a₂=-αb₃+b₂ b₂= αb₃+a₂

a₁=-αb₂+b₁ b₁= αb₂+a₁

a_n-2=-αb₁+R b_R= αb₁+a₀

Представим значения в виде таблицы-схемы Горнера

Например:f(x)=x⁴-14x³+60x²-150x-125 разделит на x-5

Тогда получим

f(x)/(x-5)=(x³-9x²+15x-75)+R R=-500

Так же схема Горнера применяется при нахождении кратности корней.Чтобы х₀ являлось корнем многочлена,необходимо чтобы остаток был равен нулю(R=0)

Так же при нахождении дробных корней многочлена каждый из предполагаемых корней используют в виде α в схеме Горнера. При нахождении дробных корней следует помнить,что и должны быть целыми числами

Теорема Виета

Теор:Пусть f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1++++a₁x¹+a₀ многочлен, х₁х₂..x_n-его корни.Тогда х₁+х₂+…+х_n=-

x₁x₂+x₁x₂+x₂x₃+…+x_n-1x_n=

x₁x₂x₃+x₂x₃x₄+…+x_n-2x_n-1x_n=-

x₁x₂x₃…x_n=(-1)ⁿ*

Док-во:Методом индукции по степени многчлена.Пусть degf=1 и f(x)=a₁x+a₀.Тогда поскольку корнем f явл x=-a₀/a₁, то

а₀=-а₁х₁ и формулы действуют при n=1

Предположим,что формулы справедливы для любого многочлена степени n. Пусть многочлен g(x)=b_n+1xⁿ⁺¹+b_nxⁿ++b₀

У g(x) имеется n+1 корней(с учетом кратных).Тогда g(x)= b_n+1(x-x₁)***(x-x_n)(x-x_n+1) Или g(x)= b_n+1f(x)(x-x_n+1) где положено

f(x)=(x-x₁)(x-x₂)***(x-x_n) Многочлен f(x) удовлетворяет условиям теоремы,имеет n-ю степень и его старший коэфф равен 1. Отсюда находим b_n=-b_n+1(x₁+x₂+++x_n+1)

b_n-1=b_n+1(x₁x₂+x₁x₃++x_nx_n+1)

b₀=(-1)ⁿ⁺¹b_n+1x₁x₂x₃**x_nx_n+1 после этого остается воспользоваться лишь принципом математической индукции

Наши исходные формулы называют формулами Виета

Для квадратного уравнения имеем:

ax²+bx+c+0

x₁+x₂=

x₁*x₂=

7. Векторное пространство. Базис. Подпространства.

Веторн.пр-во.определение,св-ва и примеры

(α1,α2, …, αn), αi , (i) V – множество - ,

P – скаляр - αβγ

Будем считать что на V введены операции:БАО «+» (α, ) α

α , V

Опр:Мн-во V с заданными на нем операциями + и * на P называется векторным (линейным) пространством, если выполняются специальные условия (аксиома векторного пространства).

, V αβєP

1)<V, +> - абелева группа

Группа-непустое мн-во G с одной БАО “®”, если выполняются аксиомы группы

1)G-замкнуто относит БАО, т.е ∀a,bєG, a®b=cєG

2)Операция БАО ассоциативна, т.е с®(a®b)=(b®a)®c

3)Мн-во G содержит нейтральный элемент “е” т.е ∀aєG ∃eєG a®e=e®a=a

4)Мн-во G содержит симметричный элемент для любого элемента самого мн-ва ∀aєG ∃a’єG a®a’=a’®a=e

Кроме того,если ® коммутативна, т.е a®b=b®a ,то группа называется коммутативной(абелевой).

2)ассоциативность умножения на скаляр (*) = (β*)

3)дистрибутивность сложения относительно умножения на скаляров *( +) = +

4)дистрибутивность умножения относительно сложения скаляров ( + ) = + β

Размерность и базис векторного пространства.

Опр: Говорят , что векторное пространство V имеет размерность равную n , если V содержит линейно-независимую систему векторов состоящую из n векторов , а все системы содержащие большее количество векторов – линейно-зависимы( Обозначение dim ). Dim V=n;

Опр: Упорядоченная линейно-независимая система векторов называется базисом векторного пространства , если через нее линейно выражаются все остальные векторы данного векторного пространства.

Теор: Если размерность векторного пространства равна n (dim V=n) , то любая линейно-независимая система , состоящая из n векторов является базисом данного векторного пространства.

Док-во:Дано:V, dim V=n; (1) ā1, ā2, ….ān – линейно- независима.

Доказать: (1)- базис V.