Доказательство запишем в двух столбцах: в левом — конечная последовательность формул, удовлетворяющих условиям (1)-(2), т. е. само доказательство; в правом — указание, является ли соответствующая формула посылкой (п), или по какому правилу вывода и из каких предшествующих формул последовательности она получена.

§10. Теорема дедукции

Вматематических рассуждениях часто применяется следующая

Теорема: Если верно логическое следование

тим, что ϕn ϕ не следует из посылок ϕ1, ϕ2 ,..., ϕn−1 . Это означает, что существует, по крайней мере, один набор значений переменных, при которых посылки ϕ1, ϕ2 ,..., ϕn−1 истинны, а заключение ϕn ϕ ложно, т. е. ϕn истинна, а ϕ ложна. Тогда получается, что все посылки ϕ1, ϕ2 , ... ϕn истинны, а заключение ϕ ложно. Но это будет означать, что логическое следование (ϕ1, ϕ2 , ... ϕn ) 6 ϕ ложно, что противоречит условию.

Приведем несколько примеров применения теоремы дедукции. 1. Теореме дедукции позволяет обосновать следование (закон

силлогизма)

(p q, q r)6(p r)

проще, чем установлением тождественной истинности формулы, выражающей закон силлогизма.

Согласно теореме дедукции, для доказательства формулы достаточно показать, что

— 37 —

(p q,q r, p)6 r .

Доказательство представлено в таблице.

2. Рассмотрим следующее рассуждение: «Если две плоскости параллельны, то они не имеют общей точки; если две плоскости пересекаются, то они имеют общую прямую; но две плоскости параллельны или пересекаются; следовательно, две плоскости не имеют общей точки или имеют общую прямую».

Формализуя это рассуждение, получим схему

(p q,r s, p r)6(q s).

Применяя один из законов логики высказываний, приходим к равносильности

q s ≡¬q s .

Таким образом, получается новая формула

(p q, r s, p r)6(¬q s).

Согласно теореме дедукции достаточно показать, что

(p q, r s, p r,¬q)6 s .

Доказательство в таблице.

3. С помощью теоремы дедукции правило контрапозиции (ПК) сводится к правилу отрицания (ПО).

Действительно, по теореме дедукции для установления следования

— 38 —

(p q)6(¬q ¬p)

достаточно показать, что

(p q,¬q)6¬p ,

аэто следование осуществляется по правилу отрицания (см. табл.).

§11. Недостаточность логики высказываний

Средства логики высказываний оказываются недостаточными для выяснения правильности рассуждений. Например, правильность рассуждения «Все греки — люди; Сократ — грек; следовательно, Сократ — человек» нельзя установить средствами логики высказываний, так как в нем посылки и заключение с точки зрения этой логики — элементарные высказывания, рассматриваемые как целые, неделимые, без учета их внутренней структуры.

Легко видеть, что рассуждение «Всякий ромб — параллелограмм; ABCD — ромб; следовательно, ABCD — параллелограмм», хотя и отличается по содержанию от первого рассуждения, имеет ту же структуру и следование заключения из посылок в этих рассуждениях определяется именно этой структурой, а не содержанием.

На языке логики высказываний мы не можем отделить логическую структуру этих рассуждений от их конкретного содержания. А поскольку структура посылок и заключения в высказываниях не отражается, мы не можем определить, действительно ли заключение следует из данных посылок.

Такое ограничение логики высказываний объясняется тем, что она ограничивается сведением сложных высказываний к элементарным, а последние рассматриваются как целые, неделимые объекты. Однако эти объекты не являются самыми простыми элемен-

— 39 —

тами рассуждений и обладают внутренней структурой, играющей важную роль в выводах.

С другой стороны, логика высказываний не отличает высказывание, выражающее свойство предмета от высказывания, выражающего отношение между предметами, не дает нам средства для выражения свойств и отношений.

В этом же смысле недостаточна и традиционная «философская» логика, хотя она и разделяет элементарное высказывание на субъект (буквально — подлежащее) и предикат (буквально — сказуемое).

Субъект — это то, о чем что-то утверждается или отрицается в высказывании; предикат — то, что утверждается или отрицается о субъекте. Например, в высказывании «Ромб есть параллелограмм», «ромб» — субъект, «параллелограмм» — предикат («есть» — связка). Это высказывание истолковывается как утверждение о том, что ромб обладает свойством быть параллелограммом или, что множество ромбов включается во множество параллелограммов.

Разделение элементарного высказывания на субъект и предикат достаточно лишь в тех случаях, когда высказывание выражает свойство предмета, и не пригодно, когда высказывание выражает отношение между предметами.

Например, элементарные высказывания: «Число 2 меньше числа 3», «Точка A лежит между точками B и C» и т. п. уже нельзя представить в виде «S есть P», где S — субъект, P — предикат. Конечно, можно считать во втором из этих примеров, A субъектом, а свойство «лежит между B и C» предикатом, но такое представление, во-первых, неоднозначно, неоднозначно (можно понимать приведенное высказывание как высказывание о B или о C) и, вовторых, при этом происходит далеко не всегда желательное «склеивание» различных субъектов (в данном случае — B и C) в один предикат.

Таким образом, возникает необходимость в расширении логики высказываний, в построении такой системы, средствами которой можно было бы исследовать структуру элементарных высказываний.

— 40 —