1 0 0 0 0 0= .0 0 0 1 0 0

Таким образом, умножение двух матриц обладает некоторыми свойствами, не характерными для умножения чисел, поэтому при действиях с матрицами нужно проявлять осмотрительность и аккуратность.

§ 2. Определитель квадратной матрицы. Обращение матриц

Всякой квадратной матрице можно поставить в соответствие действительное число, называемое определителем или детерминантом этой матрицы.

Для определителя матрицы A применяются различные обозначения. Укажем наиболее употребимые: detA, ∆ , или развернутое, указывающее на связь с данной матрицей

a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n .

.................

an1 an2 ... ann

Прямые скобки, заменяющие круглые (матричные), указывают на то, что имеется в виду именно определитель матрицы, т. е. единственное число, а не сама матрица A.

Рассмотрим определитель 2-го порядка

a11 a12 . a21 a22

Чтобы найти значение этого определителя, надо перемножить элементы главной диагонали и отнять от полученного числа произведение элементов побочной диагонали, т. е.

a11a22 −a12a21 .

— 70 —

Например, определитель

Определитель 3-го порядка

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

вычисляется по формуле

a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 −a13a22a31 −a12a21a33 −a11a23a32 .

Например,

2 1 7 1 4 2 =2 4 9+1 2 3+7 1 7−7 4 3−1 1 9−2 2 7 = 3 7 9

=72+6+49−84−9−28=6 .

Для того чтобы определить правило вычисления определителей порядка выше, чем 3, введем сначала некоторые новые объекты.

Рассмотрим прямоугольную матрицу m×n . Выделим в этой матрице k различных строк и столбцов, причем

1≤k ≤min(m, n).

Элементы выделенных строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка k.

Определитель выделенной квадратной матрицы называется минором k-го порядка заданной матрицы A.

Можно было бы доказать, что число всех миноров k-го порядка данной матрицы равно Cmk Cnk (§ 5). В частности, число миноров

— 71 —

1-го порядка для матрицы m×n равно Cm1 Cn1 =mn, т. е. совпадает

с общим числом элементов матрицы.

Если в выделенную квадратную матрицу порядка k включены строки и столбцы заданной матрицы A, имеющие одинаковые номера, то соответствующий минор k-го порядка называется главным.

Пример. Дана прямоугольная матрица

Выписать все возможные миноры этой матрицы.

Решение. Поскольку min (3,2)=2 , то старший порядок мино-

ров равен 2. В данной матрице имеется 6 миноров 1-го порядка — это просто ее элементы. Общее число миноров 2-го порядка равно

C32C22 =3 1=3 . Запишем их:

Среди этих миноров первый минор — главный.

При вычислении определителя квадратной матрицы n-го порядка нам понадобится находить миноры (n – 1)-го порядка. В квадратной матрице вычеркнем все элементы i-й строки и j-го столбца. Оставшиеся элементы образуют квадратную матрицу (n – 1)-го порядка, ее определитель представляет собой минор (n – 1)-го порядка. Так как он однозначно определяется элементом aij , то называется минором, соответствующим элементу aij и обо-

значается Mij .

Алгебраическим дополнением элемента aij квадратной матрицы порядка n называется число, определяемое по формуле:

Aij =(−1)i+j Mij .

— 72 —

Легко видеть, что если сумма индексов i + j — четное число, то алгебраическое дополнение совпадает с минором, если i+ j —

нечетное число, то минор и алгебраическое дополнение отличаются только знаком.

Пусть дан определитель (детерминант) порядка выше третьего. Зафиксируем i-ю строку (j-й столбец). Тогда определитель квадратной матрицы A равен

ai1 Ai1 +ai2 Ai2 + ... +ain Ain

(или a1 j A1 j +a2 j A2 j + ... +anj Anj ).

Последнее выражение называется разложением определителя по элементам i-й строки (j-го столбца). Мы будем считать приведенное выше за определение детерминанта (определителя) порядка выше третьего.

Пример. Вычислить определитель

Решение. Разложим этот определитель по элементам первого столбца.

— 73 —

Отметим некоторые свойства определителя.

Определитель квадратной матрицы не меняется при ее транспонировании.

Если поменять местами какие-либо две строки (столбца), то определитель сменит знак на противоположный.

Если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на одно и то же число λ , то определитель умножается на это же число.

Если все элементы определителя n-го порядка умножить на

число λ , то определитель умножается на λn .

Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя равны 0, то определитель также равен 0.

Определитель, у которого все элементы двух и более строк (столбцов) соответственно пропорциональны (в частности, равны) равен нулю.

Пусть все элементы какого-либо столбца (строки) определителя являются суммой двух слагаемых. Тогда имеет место равенство

Определитель не меняет своего значения от прибавления ко всем элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Квадратная матрица называется вырожденной (особенной), если ее определитель равен 0. В противном случае (det A≠0) матри-

ца A называется неособенной.

Аналогично тому, как на множестве действительных чисел ка-

ждому числу a ≠0 соответствует единственное обратное число 1a ,

так и на множестве квадратных матриц всякой неособенной матрице A соответствует единственная обратная матрица A−1 .

— 74 —

Матрица A−1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если

AA−1 = A−1 A=E . (*)

Например, обратной по отношению к неособенной матрице

E E−1 =E . Поэтому матрица, обратная к единичной, сама является единичной матрицей.

Пусть дана невырожденная матрица A. Найти обратную матрицу A−1 можно двумя способами:

1) Элементы bij обратной матрицы A−1 находятся по формуле

1

bij = det A Aji ,

где Aji — алгебраические дополнения элементов a ji . Матрица

A = Aji называется присоединенной к матрице A.

— 75 —

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы

1 2 −3

A= 0 1 2 .0 0 2

Решение. Поскольку det A=2 , то существует обратная матрица A−1 . Сначала запишем транспонированную матрицу

1 0 0 A′= 2 1 0 .

−3 2 2

Затем составим присоединенную матрицу A , состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы A′:

Правильность вычислений можно проверить, используя равен-

ство AA−1 =E .

2) Обратную матрицу можно найти методом Жордана–Гаусса. Запишем матрицу A и справа к ней припишем единичную матрицу. Затем проделаем три шага вычислений по методу Жордана–

— 76 —

Гаусса и, на месте единичной матрицы будет находиться обратная.

Обратная матрица находится в 3-м, 4-м и 5-м столбцах последней таблицы. Разумеется, она совпадает с обратной матрицей, полученной первым способом.

Сформулируем алгоритм метода Жордана–Гаусса.

1.На главной диагонали исходной матрицы в первой таблице выбирается направляющий элемент. Он может быть любым числом, кроме нуля. Строка, в которой выбран направляющий элемент, называется направляющей строкой, а соответствующий столбец — направляющим столбцом. Затем переходят к расчету следующей таблицы.

2.В следующей таблице сначала записывается направляющая строка, все элементы которой делятся на направляющий элемент. Таким образом, в новой таблице направляющий элемент будет равен 1.

3.Направляющий столбец заполняется нулями (кроме самого направляющего элемента, который, как уже было сказано, равен 1).

4.Все остальные элементы новой таблицы пересчитываются по так называемому правилу прямоугольника. Пусть, например,

нужно пересчитать элемент akm , причем направляющий элемент — aij . Пересчет осуществляется по формуле

— 77 —