Решение об Отдельном 1 без Выпуска Общественной информации

_x2

*3

Безоговорочная Вероятность (1)

.3000 .6250 .0750

Математическое ожидание (2)

.3333 .5600 .6667

Действие

(3)

отклоните принимают, принимают

общественная информация изменяет решение отдельного l отклонить если _Xt = _x2 и S = L. Таким образом отдельные 2 больше не могут вывести, что сигнал отдельного 1 был _xi, когда он наблюдает отклонение. Это изменяет проблему решения отдельных 2. Из таблицы A5 измененный исключая ставкой ожидал, что доходы второго человека с выпуском общественной информации могут быть вычислены, чтобы быть.0242 (.71-.555) +.0031 (.794-.555) +.0339 (.6454-.555) +.22365 (.638-.555) +.02775 (.735-.555) =.03114, который является меньше чем исключая ожидаемыми доходами ставки без выпуска (.0425) общественной информации. Q.E.D.

Доказательство Результата 4

От уравнения (1), вероятность, что каскад не запустился n = 100, является меньше чем ^1/2100 == 0. Таким образом, симметрией,

Pr (льются каскадом n = 100), = Pr (вниз каскад n = 100) = ltt. (A5) кроме того, уравнение (3) подразумевает это

Pr (V = 11 каскад запускался в период 2n),

Зернышко + 1)

= Pr (V = 0 вниз каскад запускался в период 2n), = > ^[k

(A6)

и

Pr (V* = 01 каскад запускался в период В),

(2 - p) (l - p)

= Pr (V = 1 вниз каскад запускался в период 2n), = <v2.

(A7)

Вспомните, что w обозначает истинное значение после того, как я = 100. Позвольте ПЕРЕДОЗИРОВКЕ обращаться к случаю, что новая ценность w определена старым рисунком V (вероятность.9),

ТАБЛИЦА A3

Решение об Отдельных 2 без Выпуска Общественной информации

	Безоговорочный	Ожидаемый
	Вероятность	Ценность	Действие
o „x2	(1)	(2)	(3)
R, *!	.1000	.2000	отклонить
R, x2	.1800	.3839	отклонить
R, x3	.0200	.5000	отклонить
A, xi	.2000	.4000	отклонить
A, x2	.4450	.6292	принять
A, x3	.0550	.7273	принять

ТАБЛИЦА A4

p + 1) +.05

и позвольте, БЕЗ ОБОЗНАЧЕНИЯ ДАТЫ обращаются к случаю нового рисунка (вероятность.1). (A6), Pr (W = 11 каскад n = 100) = Pr (W = 01 вниз каскад n = 100)

Pr (ПЕРЕДОЗИРОВКА) x

победите + 1)

+ Pr (БЕЗ ОБОЗНАЧЕНИЯ ДАТЫ) x _'/2

= .9-

> '/2,

^2ip2 побеждают + 1) 2 (p2-p + 1)

(A8)

для всего p> _V2.

Чтобы исследовать решения о 101-ом и позже людях, мы обусловливаем на новой информации (X10i, _Xl02). Во-первых, мы вычисляем вероятность, что каскад, начатый периодом 100, полностью изменен. Let£ [W|up, H] обозначают £ [каскад W|up n = 100, _X101 = H]. Ясно,

E [W\vp, H]> £ [W|up] = Pr (W = 1|up)> _V2, (A9)

где последнее неравенство следует (A8). Поэтому, после льются каскадом, если _X101 = H, то отдельные 101 принимают. Затем, позвольте Pr (v, w, L|up) обозначают условную вероятность, что V = v, W = w, и _X101 = L, учитывая, что каскад запускался прежде n = 101:

£ [W|up, L]

=? r (W = I|up, £)

₌ Pr (W = 1, L|up) Pr (£ |up)

₌ Pr (l, 1, £ |up) + Pr (0, l, £ [)

~ Pr (l, 1, L|up) + Pr (0, l, L|up) + Pr (l, 0, L|up) + Pr (0, 0, L\up)'

Чтобы иллюстрировать, как эти сроки вычислены, мы используем (A6), чтобы выразить Pr (l, 1, L|up) как

Pr (l, 1, L|up) = Pr (V = l|up) Pr (W = 11V = l,) Pr (£ |V = 1, W = l,) = Pr (V = l|up) Pr (W = l\V = l) Pr (L|W = 1) P (P + 1)

.95 (1 - p).

^2ip2-p + 1)

Таким образом, используя (A6) и (A7), у нас есть £ [W|up, £]

победите + 1)

95 (1 - p) +

L2 (^p2 - p + 1)

.95 (1 - p) +

(2

05 пунктов + -

победите + 1) ^Zip2-p + 1)

Зернышко + 1) _

2ip2-p + l) ^ ^ 2 (^p2 (1 - p) (2 + 16 пунктов + 20 пунктов '²)

.05 (1 - p)

05 (1 - p)

(A10)

для p =.9. Следовательно, после льются каскадом, если отдельные 101 наблюдают L, он отклоняет. Последующие люди могут вывести _X101 от человека 101 действие.

Это - легко установленный that£ [W|up, L, H] =, £ [W|up], и таким образом (A9) подразумевает что £ [W|up, L, H]> V2. Следовательно, если отдельные 101 отклоняют, то есть, _X101 = L, то 102 принимает если _X102 = H. С другой стороны, если отдельные 102 наблюдают L после того, как 101 отклоняет, то 102 отклоняет потому что

E [W\vp, L, L] <E [W\vp, L] <_V2,

где последнее неравенство следует (A10). Таким образом, если 101 отклоняет, то _X102 выведен из 102's действие (H, если принимают, L, если отклоняют). Кроме того, если 101 и 102 отклоняют, вниз каскадные запуски с тех пор

E [W\vp, L, L, H] = £ [W|up, L] <'/2.

Интуиция для этих результатов - то, что каскад содержит немного информации, чтобы начаться с, таким образом, новая информация может легко полностью изменить информацию, отраженную в старом каскаде. Таким образом условная вероятность изменения в соглашении к вниз после n = 100 данный каскад первоначально, по крайней мере,

Pr (вниз после n = 1001 прежде n = 101)

> Pr (_X101 =L, _X102 = L|up)

=. 9 [Pr (V = l|up) Pr (L, L|V = 1,) + Pr (V = 0|up) Pr (L, L | V = 0,)] +.1 Pr (L, L|ND)

:p (p + 1) (1 - pf + (2-/>) (! - p) ^{p2^}\\ (Al 1)

= .9

= .9

2 (p2-p + 1) +.l ['/2Pr (L, L|W = 1) + 'k? r (L, L\W = 0)] p (l-/,) (! + 2/> - 2p2y

+. 05 [(1-py ^+p2]

2 (^p2-p + 1).0935

для/) =.9.

Симметрический аргумент устанавливает, что вниз каскад прежде n = 100 полностью изменен если _X101 = _{X] 02} - H и что

Pr (после n = 1011 вниз прежде n = 101)

(A12)

> Pr (_X101 = H, _X102 = H\vp) =.0935.

Следовательно, для p =.9, более низкое привязывало вероятность каскадного аннулирования после того, как период 101

Pr (каскадное аннулирование после 100)

> Pr (_X101 = L, _X102 = L|up перед 10 l) Pr (прежде 101)

+ Pr (_X101 = H, _X102 = H|down прежде 101) Pr (прежде 101)

=. 0935 x _'/2 +.0935 x <k

= .0935,

где первое равенство следует (A5), (Все), и (A12). Q.E.D.