Prob {Zw (j)}

Мы показываем что если v = _vt, то с вероятностью один lim prob {V = _Vi\an, xn+i = _xq,} =

(A3)

Доказательство (A3) - простое расширение аргумента в DeGroot (1970, стр 202-4). Позволить

/ prob {Z_{? <}} 10glprob {Z, _P}

v = _vlt

Если я 7^ / *, то (Al) и неравенство Дженсена подразумевают это

prob {Z,}

prob {_{Зона огня/}}

\/<регистрируют £

регистрация

p Pql* +, _ p U

= logl = 0.

Таким образом сильный закон больших количеств подразумевает это с вероятностью один

lim - 'V' loi

/ prob {Z_?; (j)} fVprob {Z_{? я}. (j)}

\,₍<0.

Следовательно

₎

- 00.

Следовательно, если / # / *, то, с вероятностью один,

n

limf]

1 ;=1

prob {_Zg, (j)} prob {Z, (;')}

= 0.

(A4)

Если ре 00 _в (A3), то с тех пор _n} + _n2 = n, или _nx-* <» или _n2 ~ * ⁰⁰ или оба. Следовательно, (A4) и (A2) подразумевают (A3). Поэтому, если V = v,„ тогда, для всех e> 0,

lim prob {|V„ ₊₁ (X„ ₊₁; AJ - w ₍. | <£, Vn>«} = 1.

Таким образом посылка 2 подразумевает, что как м.-* °°, с вероятностью, которую один или ­отдельный м. и все последующие люди примут независимо от их частной реализации сигнала, или отдельного м. и всех последующих людей, отклонит независимо от их частной реализации сигнала. Q.E.D.

Если посылка 2 нарушена и _vt = C для некоторых/, то (доказательство, подобное тому из суждения 1, устанавливает, что) каскад запускается если V ^ _vt. Если V = v _{= C, то ожидание V условных предложений на действиях людей / <n приближается к C как n -» *. Таким образом ожидание V условных предложений на действиях людей i <n и на X„ может быть ниже C для более низкой реализации _Xn и выше C для более высокой реализации _Xn. Поэтому, каскад, возможно, не начинается.

Доказательство Результата 2

Доказательство - пример, который показывает, что, если есть информационный выпуск, второй человек после того, как информация выпущена, проигрывает материально. Позвольте V быть или нолем или один с равной вероятностью и стоимостью принятия быть.555. Позвольте там быть тремя ценностями сигнала, X, e {_{икс-единица x2}, с условным распределением как перечислено в столе Al. Это может быть с готовностью проверено, что этот пример удовлетворяет посылки 1 и 2.

Сначала рассмотрите случай, в котором не выпущена никакая общественная информация. Таблицы A2 и A3 перечисляют вероятность, что V = 1 данный ­информационные компании первых и вторых ­людей, безоговорочную вероятность этих информационных наборов (то есть, исключая вероятностью ставки, что особый сигнал наблюдается), и решения людей. Колонка 1 таблицы A2 перечисляет безоговорочную вероятность, что отдельный 1 наблюдает данный сигнал; Колонки 2 и 3 перечисляют следующее математическое ожидание принятия (вероятность что V = 1) и получающееся действие этого человека.

Таким образом отдельный 1 принимает, если X, £ {_x2, _x3} и отклоняет если X, = _xt. Отдельные 2 наблюдают это решение, _{Дуплексные} £ {A, R} (принимают/отклоняют) и его собственный сигнал, как описано в таблице A3. Человек 2 исключая ставкой ожидал, что прибыль без общественной информации может быть вычислена из таблицы A3, чтобы быть.445 (.63-.555) +.055 (.73-.555) =.0425.

Теперь рассмотрите следующий выпуск общественной информации. Оба человека наблюдают сигнал, S, который является или высоко (H) или низко (L) с вероятностями Pr (5 = H\V = 1) =.51 и Pr (S = H\V = 0) =.49.

Таблицы A4 и A5, аналогичные таблицам A2 и A3, описывают проблемы решения отдельного 1 и отдельных 2, соответственно. Поскольку таблица A4 показывает,

СТОЛ Al Условная Вероятность Сигнала

*2

Pr (X, Pr (X,

• = 0)

• = 1)

.55 .7

.05 .1

ТАБЛИЦА A2