9 В Секунду. Iic, мы кратко обсуждаем определение заказа шагов.

10 Модель также относится к выбору между двумя произвольными действиями, где V и c - различия в ценностях и в затратах.

отклоненный (когда даже сигнал H побуждает его отклонять и таким образом создает вниз каскад), или (3) каждый принял и другой отклоненный. В последнем случае третье частное лицо находится в той же самой ситуации как первое частное лицо: его математическое ожидание принятия, базируемого только на действиях его предшественников, является ^lk, и поэтому его сигнал определяет его выбор. Если это появляется, затем подобный анализ показывает, что четвертое частное лицо было бы в той же самой ситуации как второе частное лицо, пятое как третье, и т.д.

С этим правилом решения мы можем получить безоговорочное исключая вероятностями ставки каскад, никакой каскад, или вниз каскад после двух частных лиц,

1 - P+P2^ „l-p + p v > P-P> Ö

2

и

после четного числа частных лиц n.11Уравнение (1) шоу, что, чем ближе p к ^lk, тем позже каскад, вероятно, запустится. Сокращение p к ^lkэквивалентно добавлению шума к сигналу; в p = ^lk, сигнал неинформативен. Другими словами каскады имеют тенденцию запускаться скорее, когда у частных лиц есть более точные сигналы стоимости принятия 12Кроме того, согласно (1), вероятность того, чтобы не быть в каскаде падает по экспоненте с номером частных лиц. Даже для очень

¹¹ После двух частных лиц не происходит никакой каскад, если есть один H и один L. Эта стоимость может быть вычислен, принимая V = 1 (или 0). Возникновение или ГЕКТОЛИТРА или ЛЮФТГАНЗЫ вовлекает щелчок монеты, таким образом, полная вероятность - '/2/> (l - p) + 'kp (\-p) = p (\— p). Для другие две ценности, это достаточно, чтобы отметить, что начиная с этих вероятностей не условны на V, Pr = Pr(вниз) = '/2[1 - Pr (никакой каскад)]. Для выражений в eq. (1), отметить то, что вероятность каскада после четырех частных лиц является вероятностью каскад после двух частных лиц плюс вероятность того, чтобы не быть в каскаде после два частные лица, умноженные вероятностью, льются каскадом еще после двух частных лиц. Напротив, вероятность того, чтобы не быть в каскаде после четырех частных лиц просто вероятность того, чтобы не быть в каскаде после двух частных лиц умножилась proba- bility того, чтобы не быть в каскаде еще после двух частных лиц.

12 Определенно, более высокая точность p поднимает вероятность историй, которые приводят правильный каскад.

шумный сигнал, как тогда, когда p = V2 + e, с e, произвольно маленьким, эта ­вероятность только после 10 частных лиц составляет меньше чем 0.1 процента!

Мы можем также получить вероятность окончания правильном каскаде. Вероятности льются каскадом, никакой каскад, или вниз каскад после, два частных лица, учитывая, что истинное значение один,

p {p + 1)

(p - 2) (p - 1)

(2)

и после четного числа частных лиц n - p (p + i) [я - (p - p2Y12]

2 (\-p + p2) (p - 2) (p - 1) [1 - (p ~ p2)ⁿ'²] 2 (1-p + p2)

(3)

Первое выражение - вероятность правильного каскада. Можно показать, что эта вероятность увеличивается в p (см. рис. 1), и n. Даже для очень информативных сигналов (где p далек от V2), вероятность неправильного каскада удивительно высока.

Проблема с каскадами состоит в том, что они предотвращают скопление информации многочисленных частных лиц. Идеально, если информация многих предыдущих частных лиц соединена, позже частные лица должны ­сходиться к правильному действию. Однако, как только каскад запустился,

0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Точность сигнала (p)

Рис. 1. — Вероятность правильного и неправильного каскада как функция p (p вероятность, что сигнал высок [H], учитывая, что истинное значение высоко [eq. (1)]). Даже для большого p, вероятность окончания неправильном каскаде значительна.

действия не передают информации о частных сигналах; таким образом ­действие частного лица не улучшает более поздние решения.

Роджерс и Сапожник (1971) суммируют исследование в области способности посторонних (или "активисты перемен"), чтобы вызвать принятие ­желательных инноваций в пределах сообществ. Они предлагают общее ­предложение, что "успех активиста перемен положительно связан с его усилиями в увеличении способности его клиентов оценить инновации" (p. 247). Это совместимо с предсказанием этого двойного примера, что как ­точность сигнала, p, увеличений, правильный каскад запускается с более высокой вероятности и, в среднем, ранее.

Это поучительно, чтобы сравнить результат в "предыдущих действиях, заметных" (PAO) режим к тому из более информативных "предыдущих сигналов, заметных" (PSO) режим. В случае двоичного сигнала PAO приводит к более однородному результату. После любой данной последовательности реализации сигнала эти два режима приводят к точно идентичным результатам, ­пока каскад не начинается в режиме PAO. Однако, в режиме PAO, после того, как каскад запускается, это никогда не сторнируется. В режиме PSO, даже если частное лицо не следует за своим частным сигналом, он присоединяется к общему пулу знания. Следовательно, достаточно длинный ряд противопоставления против сигналов в конечном счете вызовет поведение людей переключиться. Таким образом PAO приводит к большей однородности. Мы будем утверждать в Разделе V, что эта однородность является хрупкой: маленькие шоки могут легко переместить поведение многих ­частных лиц.

B. Общая Модель

Мы теперь показываем, что под умеренными предположениями на сигналах и ценностях, каскады будут всегда возникать. Позвольте там быть последовательностью частных лиц i = 1, 2..., n..., каждое решение, принять ли некоторое поведение или отклонить это. Каждое частное лицо наблюдает решения обо всех те перед ним. Заказ частных лиц является экзогенным и является известным всем. У всех частных лиц есть та же самая стоимость принятия, C, и выгода к принятию, V. У выгоды V есть конечный набор возможных ценностей, v]<v2<... <против, и решение не тривиально (v1<C <против). Предшествующая вероятность, что V = vlобозначен |x.

Мы используем понятие совершенного равновесия Bayesian. Так как ­выплаты частного лица не зависят от того, что делают более поздние частные лица, нет никакого стимулирования, чтобы сделать движение из равновесия, чтобы попытаться влиять на более позднего игрока. Таким образом, без потери общности, мы предполагаем, что, если какой-либо игрок, как наблюдают, отклоняется от равновесия, или отклоняя, когда он должен был принять независимо от своей реализации сигнала или принимая, когда он должен был отклонить независимо, тогда у последующих частных лиц есть те же самые верования, как если бы он выбрал свое правильное (равновесие) действие.

Частные лица отличаются не только их позициями в очереди, но и сигналами они конфиденциально наблюдают. Каждый отдельный і наблюдает одну из условно независимой и тождественно распределенной последовательности сигналов X с возможными ценностями x]<x2<x3<... <xR. Позвольте pqlбыть вероятностью, что частное лицо замечает, что сигнал оценивает xq, данный истинное значение принятия vt. Мы предполагаем что pql> 0 для всего q и/. Позвольте Pqlбыть совокупным распределением X, учитывая V = vt, то есть,

я

Pql=Pr(X, <xq\V= v,) = YjPfi-

Позвольте J і быть набором реализации сигнала что свинцовый отдельный і, чтобы принять. Его решение общается другим, что он наблюдал или сигнал в наборе Jtили его дополнение. Если J_{= {xitx2..., xR} или если]_l пуст, то частное лицо я - действие, не передает информации о его реализации.

Определение. Информационный каскад происходит, если ­действие частного лица ­не зависит от его частного информационного сигнала.

Если отдельный і находится в каскаде, то его действие не передает ­информации, и отдельный і + 1 рисует тот же самый вывод из всех предыдущих действий. Начиная с сигнала Xi_{+ L} привлечен из того же самого распределения, как X„ отдельных і + 1 находятся также в каскаде. Таким образом, индукцией, все ­частные лица после і находятся в каскаде. Следовательно, каскад однажды запустился, продлится навсегда, даже если это будет неправильно. Мы будем видеть позже, что эта ошибочность заставляет каскады быть хрупкими. Например, если у сигналов частных лиц есть различные распределения, как в Разделе IIC, если общественная информация ­показана позднее, как в Разделе ІІІЛ, или лежа в основе ценностей, может измениться, как в Разделе V, то каскады могут легко быть сломаны.

Позвольте _{быть отдельными, я - действие (примите или отклоните), и позвольте A, = (топор, a2, ■ ■ ■, a,) представляют историю мер, предпринятых частными лицами 1,2..., я. Данный историю A, - _j, позволяют Jt(At^lta,) быть набором реализации сигнала что свинцовый отдельный і, чтобы выбрать действие a. Тогда отдельный n + я - ­условное ожидание V данный его собственную реализацию сигнала xqи историю

Vn+y(xq, AJ ^ E [V\Xn₊, = xq, X, GJ, (A, _Ua,), для всего і <я]. Отдельный n + 1 принимает if13Vn+l(x;)> C. Поэтому, ­вывод, оттянутый из n +, я - действие an+l, то, что Xn+1Є/п₊ і (Ап, an+l), где

Jn+M„, примите) = {xqтаким образом что Vn+l(xq;),> C}, Jn₊\(, отклоняют) = {xqтаким образом что Vn+l(xq;) <C}.

¹³, Так как мы больше не ограничиваем нас симметрическим примером, мы используем ломающее связь предположение (безразличные частные лица принимают), немного отличающийся от того в предыдущем разделе (безразличные частные лица рандомизируют). Это сокращает примечание, но не общность.

Мы устанавливаем два условия регулярности. Прежде всего, ­условные распределения, которые Pr (X, | V = vt) приказывает монотонное ­имущество 14 отношения вероятности, Это гарантирует, что, если частное лицо наблюдает более высокую реализацию сигнала, он выводит, что стоимость принятия выше (в стохастическом смысле господства первого порядка).

Посылка 1. Монотонное размещение заказа отношения вероятности. — Для всех / <S,

Pq, я ^/y+i ^ скалистая вершина весь q <R,

Pq + \, l Pq +\.l +\

со строгим неравенством по крайней мере для одного q.

Посылка 1 гарантирует, что условное ожидание каждого ­частного лица увеличивается в его реализации сигнала. Таким образом, если частное лицо, я не нахожусь в каскаде и он принимает, позже частные лица приходят к заключению что X,> xgдля некоторого q. Если я не принимаю, то заключение состоит в том что X, <x.

Второе предположение гарантирует что, если частные лица учатся достаточно о стоимости, наблюдая предшественников, то они весьма отличаются между принятием и отклонением 15

Посылка 2. Никакие долгосрочные связи. —vl^ C для всего я.

Главный результат этого раздела состоит в том, что каскад в конечном счете начинается. Предположите, что частное лицо поздно в последовательности все еще ­принимает решение основанное на его собственной информации. Тогда решения более ранних частных лиц передают некоторую информацию о своих сигналах. Если это ­частное лицо достаточно далеко в конечном счете, то, согласно сильному закону больших количеств, с вероятностью близко к одному он может вывести истинное значение принятия с почти совершенной уверенностью. Но тогда его собственный сигнал способствует произвольно немного его информационной компании, и он действует ­согласно информации, переданной действиями предыдущих ­частных лиц. Поэтому, он игнорирует свою частную информацию и начинает каскад.

Предложение 1. Если посылки 1 и 2 держатся, то как номер увеличений частных лиц, вероятность, что каскад в конечном счете начинает подходы один.

В то время как мы показали, что каскады должны в конечном счете произойти, возможно более интересный момент - то, что они часто будут неправы 16В

¹⁴ Монотонное имущество отношения вероятности - стандартное предположение в моделях в какие выводы должны быть оттянуты из шумного сигнала. Milgrom (1981) обеспечивает presen- tation и применения.

¹⁵ Это - умеренное предположение. Если v2 противи C оттянуты беспорядочно от любого

неатомная мера по вероятности, посылка 2 удовлетворена вероятностью один. Это предположение предотвращает асимптотическое безразличие, но не является ломающим связь соглашением.

¹⁶ Доказательство предложения 1 основано на идее что много наблюдений за informa- действияtive привели бы с высокой вероятностью к почти совершенному знанию имеющему значение. Таким образом с высокой вероятностью каскад должен запуститься в или перед таким пунктом, но этим каскад часто будет неправильным, который начался намного ранее. Как рис. 1 в Секунду. 11a шоу, вероятность неправильного каскада в определенной модели может быть близко к.5 если сигнал является достаточно шумным.

пример с двоичными сигналами и униформой, предшествующей на истинном значении, валлийский язык (1992) показал, что каскады запустятся и могут часто быть неправильными. Banerjee (в прессе) сделал тот же самый вывод, принимающий непрерывное однородное предшествующее распределение на правильном действии; однако, неправильные каскады в его установлении происходят из выродившейся функции 17 выплаты

C. Лидеры моды

Мы теперь рассматриваем сценарий, в котором у частных лиц есть различная точность сигнала (точность). В частности рассмотрите случай двоичного сигнала таблицы 1, где более высокая точность частного лица, я - сигнал, обращается к более высокой стоимости p_{. Мы предполагаем что Pr (V = 1) = Pr (V = 0) = V2.

Результат 1. Предположите, что случай двоичного сигнала получает. (1), Если C = ^lkи если частное лицо с самой высокой точностью решает сначала, то решение первого частного лица сопровождается всеми более поздними частными лицами. (2) Предполагают, что все частные лица n> 1 наблюдают сигналы идентичной точности. Тогда все частные лица n> 2 более обеспечены, если ­точность первого ­частного лица немного ниже, а не немного выше чем их.

Доказательство. (1) второе частное лицо выводит сигнал первого частного лица и так игнорирует его собственную информацию, начиная каскад. (2), Если точность первого частного лица немного выше, второе частное лицо подчиняется первому частному лицу; если это немного ниже, второе частное лицо принимает свое собственное решение. Таким образом последний случай приводит к большей ­информации для более поздних частных лиц. Q.E.D.

Результат 1 иллюстрирует, что небольшие различия в точности могут быть очень важными и могут привести к каскадам, которые еще менее информативны (и, таким образом, потенциально еще более хрупкий) чем тогда, когда частные лица тождественно распределили сигналы. В то время как заказ является экзогенным в модели, вероятно, что частное лицо самой высокой точности решает сначала. ­Рассмотрите более общее установление, в котором у всех частных лиц есть выбор решить или задержаться, но есть стоимость задерживающегося решения. У всех частных лиц есть стимулирование, чтобы ждать в надежде на фрирайдинг на первом, чтобы решить. Однако, другие равные вещи, стоимость решения рано является самой низкой для частного лица с самой высокой точностью.

Модель лидера моды относится к ситуациям, в которых ветеран выполняет задачу с новичками. Если опытное частное лицо действует сначала, другие часто подражают. Предсказание, что ­частное лицо низкой точности ­подражает предшественнику более высокой точности, совместимо с ­доказательствами многочисленных психологических экспериментов, демонстрирующих, что предыдущий отказ предмета в задаче поднимает вероятность это в далее