задания / Инф.каскады / СИНЕРГЕТИЧНІ ТА ЕКОНОФІЗИЧНІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ - монографія Дербенцев, Сердюк, Соловьйов, Шарапов

На основі отриманих значень, можна визначити нормалізовані значення p j , що представляють відносну вейвлет-енергію

j 1

Розподіл p j може розглядатись як часово-масштабова щільність, що є

корисним інструментом для визначення характеристик та особливостей часового ряду як у часовому, так і частотному просторах.

Необхідним критерієм для аналізу та порівняння розподілу ймовірності є ентропія Шеннона. Вона надає міру інформації, що міститься в будь-якому розподілі. Визначимо нормалізовану загальну вейвлет-

ентропію (Normalized Total Wavelet Entropy, NTWE [181]) як

використовуватись як міра ступеня регулярності (хаотичності) часового ряду, і, таким чином, надавати корисну інформацію про приховані динамічні процеси, асоційовані з часовим рядом. Впорядкований процес, навпаки, може бути представлений періодичним моночастотним сигналом (часовим рядом), тобто сигналом з вузьким частотним спектром. Вейвлет-подання такого часового ряду буде використовувати лише один масштаб, тобто всі відносні вейвлет-енергії будуть майже рівні нулю на всіх масштабах, за виключенням масштабу, що містить репрезентативну частоту ряду. На цьому масштабі відносна енергія буде майже рівною 1. Відповідно, NTWE буде набувати дуже малого значення.

Часовий ряд, що відповідає випадковому процесу, буде демонструвати надзвичайно невпорядковану поведінку. Такий вид часових рядів буде мати

61

вейвлет-представлення з порівняно великими значеннями на всіх частотних масштабах. Більш того, можна очікувати, що всі значення будуть приблизно однакові (одного порядку). Відповідно, відносні вейвлет-енергії на всіх масштабах будуть практично рівними між собою, і NTWE буде набувати свого найбільшого можливого значення.

Логічним продовженням удосконалення алгоритмів розрахунку характеристик вейвлет-ентропії є розбиття часового ряду на вікна, що не перекриваються. Для розрахунку нових характеристик вибираються вікна

довжини L та утворюються i інтервалів, i 1,..., NT , де NT ML . На

кожному інтервалі відповідні значення часового ряду асоціюються з центральною точкою часового вікна. У випадку діадичного вейвлетрозкладу кількість вейвлет-коефіцієнтів на рівні j удвічі менша за кількість

на попередньому рівні, j 1. Тому найменша довжина відповідного вікна

буде включати щонайменше один вейвлет-коефіцієнт на кожному масштабі. Вейвлет-енергія на масштабі j для часового вікна i розраховується за

Зміна з часом відносної вейвлет-енергії та нормалізованої загальної вейвлет ентропії може бути отримана за формулою:

E i

p ji E ji , (2.23)

tot

Алгоритми розрахунків

При розрахунку коефіцієнтів використовуються наступні типи вейвлет-перетворень [296]:

–неперервне вейвлет-перетворення – розрахунок неперервних вейвлеткоефіцієнтів часового ряду t на цілих додатніх масштабах з

62

використанням в якості материнського вейвлета похідної 8-го порядку функції Гауса;

–дискретне вейвлет-перетворення – розрахунок дискретних вейвлеткоефіцієнтів часового ряду t на дійсних додатніх масштабах у просторі з ортонормованим базисом із сімейства материнських функцій Морле з шістьма хвилями та періодами, що є дійсними степенями двійки;

–дискретне вейвлет-перетворення з цілими масштабами – розрахунок дискретних вейвлет-коефіцієнтів часового ряду t на цілих додатніх масштабах у просторі з базисом із сімейства материнських функцій,

що є похідними 2-го порядку функції Гауса.

При виконанні вейвлет-перетворення до вихідного ряду зліва та справа додавались його екземпляри, що дозволило отримувати однакову кількість вейвлет-коефіцієнтів на всіх масштабах. Тому в подальшому для позначення вейвлет-коефіцієнтів (та відповідних енергій) використовуватимемо нижні індекси виду Cij , де i – номер масштабу, j – номер точки.

В якості базової формули розрахунку значення ентропії нами було обрано ентропію Шеннона внаслідок досить простого методу отримання розподілу щільності ймовірності енергії сигналу.

На основі енергії вейвлет-коефіцієнтів було визначено два показники вейвлет-ентропії – масштабової та точкової ентропії. У випадку розрахунку масштабової вейвлет-ентропії формула Шеннона застосовується до оброблених даних по масштабах, в іншому випадку обробка даних проводиться за часовою шкалою.

При розрахунку обох показників вейвлет-ентропії спочатку знаходиться поле енергій вейвлет-коефіцієнтів Eij Cij2 , яке нормалізується

~ Eij

середнім квадратичним відхиленням вихідного часового ряду Eij t .

Подальші кроки залежать від виду розраховуваної ентропії.

Для розрахунку масштабової ентропії визначається розподіл щільності

де log2 N – константа, що є нормалізуючим множником, N – кількість елементів часового ряду.

63

Для розрахунку точкової ентропії визначаються суми енергій на кожному масштабі Ei Eij та знаходиться розподіл щільності

i

ймовірності енергій шляхом ділення енергій вейвлет-коефіцієнтів на

~

сумарну енергію відповідного масштабу p Eij . Значення ентропії у

ij ~

Ei

кожній точці знаходиться за формулою Шеннона

На рисунку 2.12 у якості прикладу зображено динаміку масштабової вейвлет-ентропії (верхня частина рисунку) для часового ряду індексу DowJones (нижня частина) за період, що містить кризу 1929 року.

Рис. 2.12. Розрахунок багатомасштабової ентропії для масштабів 1-20 на основі ряду індексу Dow Jones, що містить кризу 1929 р.

64

Взагальному випадку стан класичної динамічної системи описується

їїзмінними стану

де верхній індекс – номер змінної. Набір із d змінних стану в момент часу t складає вектор стану x(t) в d -вимірному фазовому просторі. Цей вектор

рухається в часі в напрямку, що визначається його вектором швидкості:

Послідовність векторів x(t) утворює траєкторію у фазовому просторі,

причому поле швидкості F дотичне до цієї траєкторії. Еволюція траєкторії

описує динаміку системи та її атрактор. Знаючи F , можна одержати інформацію про стан системи в момент t шляхом інтегрування виразу (2.26). Оскільки форма траєкторії дозволяє судити про характер процесу (періодичні або хаотичні процеси мають характерні фазові портрети), то для визначення стану системи не обов’язково проводити інтегрування, достатньо побудувати графічне відображення траєкторії. При цьому рекурентність являється фундаментальною характеристикою динамічних систем і може використовуватись для опису поведінки системи у фазовому просторі.

У 1987 р. Екман [39] запропонували спосіб відображення m -мірної фазової траєкторії станів системи x(t) довжиною у N спостережень на

двовимірну квадратну двійкову матрицю розміром N N , в якій одиниця (чорна точка) відповідає повторенню стану системи в момент часу i в деякий інший момент часу j , при цьому обидві координатні осі є часовими.

Таке представлення було назване рекурентною картою або діаграмою (recurrence plot, RP), оскільки воно фіксує інформацію про рекурентну поведінку системи.

Оскільки ми розглядаємо рекурентності станів динамічної системи,

де N кількість виміряних точок xi , - порогова відстань, ( ) - функція Хевісайда (тобто (x) 0, якщо x 0, і ( ) в противному випадку),

66

оператор нормування.

Для -рекурентних станів, тобто для станів, які потрапляють у -окіл, постулюється наступне: РД ґрунтується на зображенні рекурентної матриці рівняння (2.27) шляхом використання різних кольорів для її бінарних включень, тобто нанесенням чорної точки для координат (i, j), якщо

Ri, j 1, та білої точки, якщо Ri, j 0 . Обидві вісі РД є часовими та спрямовані вправо та вгору. Оскільки за означенням Ri, j 1 iN 1 , РД завжди

має чорну діагональну лінію, лінію ідентичності (ЛІ). Крім того, РД за визначенням симетрична відносно діагоналі, тобто Ri, j Rj,i (рис. 2.14В).

Рис. 2.14. (А) Частина траєкторії фазового простору системи Реслера. A=0.15; b=0.20; c=10; (B). Відповідна РД. Вектор J фазового простору, що в околі (сіра область рис.(А)), розглядають як рекурентну точку на траєкторії в (А). Це відмічено чорною точкою з координатами (і,j).Частина фазового простору поза межами вектора виділена білим. Радіус околу для РД є 5;

L2 -нормування

Для визначення РД необхідно обрати відповідний оператор нормування, до найбільш вживаних з яких належать L1, L2 нормування

(Евклідові) та Lmax -нормування (максимум чи супремум нормування).

Зазначимо, що різні норми мають різну форму (рис. 2.15).

Приймемо фіксованим, Lmax -нормування за найбільше, L1 – за найменше, а L2 беручи поміж ними. Для обчислення РД часто застосовують Lmax - нормування, оскільки воно простіше з обчислювальної точки зору та

дозволяє деякі аспекти в РД вивчати аналітично.

При дослідженні складних систем, зокрема, економічних, часто немає інформації про всі змінні стану. Як правило, на практиці є лише спостереження, проведене через дискретний часовий інтервал t за деякою вихідною характеристикою досліджуваного процесу скалярний часовий

67

що створює проблеми для застосування стандартних методів аналізу даних, які вимагають рівномірної шкали спостережень.

Рис. 2.15. Три найбільш поширених норми для околів з однаковим радіусом кола, показаний для двовимірного випадку фазового простору: (A)

L1 - норма, (B) L2 - норма і (С) Lmax -норма

Проте навіть по одній змінній стану можна судити про динаміку всієї системи в цілому. Таким чином, еквівалентна фазова траєкторія, що зберігає структуру оригінальної фазової траєкторії, може бути відновлена з спостережень за однією змінною, поданих часовим рядом за теоремою Такенса [149] методом часових затримок (більш докладно див. розділ 3):

де m – розмірність вкладення, – часова затримка (реальна часова затримка визначається як t ). Топологічні структури відновленої траєкторії зберігаються, якщо m 2 d 1, де d – розмірність атрактора. На практиці у більшості випадків атрактор може бути відновлений і при m 2d (див. рис. 2.14, 2.16). Затримка, як правило, вибираються апріорно. Існує декілька підходів до вибору мінімально достатньої розмірності. Високу ефективність показали методи, засновані на концепції помилкових найближчих точок

(false nearest neighbours, FNN) [118]. Сутність її полягає в тому, що при зменшенні розмірності вкладення відбувається збільшення кількості помилкових точок, що потрапляють в окіл будь-якої точки фазового простору. На цьому ґрунтується метод визначення кількості FNN як функції від розмірності.

Існують і інші методи, засновані на цій концепції – наприклад, визначення відношень відстаней між одними і тими ж сусідніми точками при різних m . Розмірність атрактора також може бути визначена за допомогою крос-кореляційних сум. Останнім часом запропоновано метод визначення розмірності вкладання із використанням рекурентних діаграм

[115, 178].

68

Отже, перевагою рекурентних графіків є можливість вивчати динамічні системи та їх траєкторії без розв’язування рівнянь динаміки.

2.3.2 Рекурентний аналіз

Використання рекурентності, яка є фундаментальною характеристикою багатьох динамічних систем, призвело до значного прогресу в теорії динамічних систем завдяки розробці швидких та ефективних комп’ютерних алгоритмів.

Рис. 2.16. Атрактор Лоренца, вибір рекурентних точок i та j в околі i (на вставці виділено) та рекурентна карта у координатах „час-час”

Виявилося, що в широкому розумінні рекурентність є частковим випадком одного з трьох великих класів асимптотичних інваріантів:

a)зростання кількості орбіт різних типів та ускладнення сімейств орбіт (важливим інваріантом зростання орбіт є топологічна ентропія);

b)типи рекурентності;

c)асимптотичний розподіл та статистична поведінка орбіт.

Перші два класи мають виключно топологічну природу; останній природно віднести до ергодичної теорії.

69

Як правило, неможливо знайти повну рекурентність у значенні xi x j

(стан динамічної, а особливо – хаотичної системи не повторюється повністю еквівалентно початковому стану, а наближається до нього скільки завгодно близько). Таким чином, рекурентність визначається як достатня близькість стану x j до стану xi . Іншими словами, рекурентними є стани x j , які

потрапляють в m- вимірний окіл з радіусом i і центром в xi .

Довільно обрана рекурентна точка не містить корисної інформації про стани в часи i і j , лише вся сукупність рекурентних точок дозволяє

відновити властивості системи.

(A) Однорідна топологія

(B) Дрейф

70