задания / Инф.каскады / СИНЕРГЕТИЧНІ ТА ЕКОНОФІЗИЧНІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ - монографія Дербенцев, Сердюк, Соловьйов, Шарапов
.pdf
Рис. 3.5. Оцінка показника Херста методом АДФ для початкового ряду (суцільна лінія), нормалізованих прибутків (штрихова) та модулів нормалізованих прибутків (пунктирна лінія)
Рис. 3.6. Розрахунок показника Херста для ряду прибутків перемішаного ряду індексу Dow Jones, що містить крах 1987 р., за допомогою методу R/S-
131
аналізу; точка кросоверу відсутня; значення показника Херста свідчить про випадковий ряд
Розрахунок показника Херста, здійснений з використанням програмного модулю work2 (додаток 1) для ряду прибутків перемішаного ряду індексу Dow Jones, що містить крах 1987 р., за допомогою методу R/S-аналізу наведено на рис. 3.6., точка кросоверу відсутня, значення показника Херста свідчить про випадковий ряд. Розрахунок показника Херста для вихідного ряду (Source) та перемішаного ряду (Shuffled) індексу Dow Jones, що містить крах 1987 р., за допомогою методу АДФ наведено на рис. 3.7.
Рис. 3.7. Розрахунок показника Херста для вихідного ряду (Source) та перемішаного ряду (Shuffled) індексу Dow Jones, що містить крах 1987 р., за допомогою методу АДФ
3.3.4 Мультифрактальний АДФ
Стандартний АДФ використовується для визначення (моно-) фрактальних скейлінгових властивостей і довгочасових кореляцій в зашумлених нестаціонарних часових рядах. Проте багато економічних
132
(біологічних, медичних тощо) об’єктів не демонструють простої монофрактальної скейлінгової поведінки, що може бути визначена одним коефіцієнтом. У деяких випадках існує кросовер (crossover) на часових шкалах sx , що відділяє моделі з різною поведінкою, наприклад, довгочасові
кореляції на малих масштабах часу s sx та кореляції іншого виду чи некорельовану поведінку на більших масштабах s sx . В деяких випадках
поведінка скейлінга ще більш складна, і існують різні значення коефіцієнтів скейлінга для різних частин послідовності (наприклад, для першої та другої половини послідовності). Трапляються ще більш складні випадки, коли розглядаються накладені одна на одну множини із різною фрактальністю. Для таких випадків необхідно обчислювати множину коефіцієнтів скейлінга для повного опису поведінки об’єкта. Тоді застосовується мультифрактальний аналіз детрендованих флуктуацій.
У загальному випадку процедура мультифрактального АДФ (МФАДФ) складається із п’яти кроків. Перші три кроки, по суті, ідентичні процедурі стандартного АДФ.
Нехай є послідовність xk довжини N, що не має великої кількості
нульових значень (compact support).
Крок 1. Визначається профіль (накопичення):
i |
|
Y i xk x , i 1..N . |
(3.39) |
k 1
Віднімання середнього x є необов’язковим, оскільки може бути виконане пізніше детрендуванням на третьому кроці.
Крок 2. Профіль Y i розбивається на Ns int N s сегментів
(підпослідовностей) однакової довжини s, що не перекриваються. Оскільки загальна довжина послідовності N часто не ділиться націло на s, залишок в кінці послідовності, що є меншим за ширину вікна, відкидається. Для врахування відкинутої частини і використання, таким чином, усіх елементів послідовності, вищевказана процедура повторюється також, починаючи з кінця послідовності. Таким чином, разом буде отримано 2Ns
підпослідовностей.
Крок 3. Для кожної із 2Ns підпослідовностей обчислюється
локальний тренд методом найменших квадратів. Потім визначається відхилення
F |
2 |
,s |
1 |
s |
2 |
(3.40) |
|
s |
Y 1 s i y i |
|
|||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
133
для кожного сегмента , 1..N і
F |
2 |
,s |
1 |
s |
2 |
(3.41) |
||
|
s |
Y N Ns s i y i |
||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
для кожного |
|
|
. Тут |
y i є інтерполюючий |
поліном на |
|||
Ns 1..2Ns |
||||||||
сегменті . Для інтерполяції використовуються лінійні, квадратичні, кубічні поліноми чи поліноми вищого порядку (відповідні методи називаються АДФ1, АДФ2, АДФ3 і т.д.). Оскільки детрендування часового ряду відбувається відніманням значень полінома від реальних значень ряду, АДФ різних порядків відповідно відрізняються у своїх можливостях по вилученню тренду в ряді. У (МФ-)АДФm ((МФ-)АДФ m-го порядку) вилучаються тренди профілю порядку m (або відповідно порядку (m-1) для вихідного часового ряду). Таким чином порівняння результатів роботи АДФ різних порядків використовується для отримання типу тренду у вихідному часовому ряді.
Крок 4. Знаходиться середнє по всіх підпослідовностях для отримання функції флуктуацій q-го порядку:
|
1 |
|
2Ns |
q |
|
1q |
|
Fq s |
|
|
F 2 s, 2 |
|
, |
(3.42) |
|
2N |
|
||||||
|
s 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
де, взагалі кажучи, значення змінної q може бути довільним за виключенням нульового. Для q 2 отримується стандартний метод АДФ.
При розгляді питання, як впливає часова шкала s при різних значенням q на узагальнену залежність Fq s від q. Для цього необхідно повторити кроки
2-4 для різних часових масштабів s. Цілком |
зрозуміло, що |
Fq s буде |
||
збільшуватись із збільшенням q. Звичайно, |
Fq s |
залежить |
також |
від |
порядку методу АДФ m. Згідно з побудовою, |
Fq s |
визначене лише |
для |
|
значень s m 2 .
Крок 5. Визначається скейлінгова поведінка функції флуктуацій шляхом аналізу у подвійному логарифмічному масштабі залежності Fq s
від q. Якщо послідовність xi має довгочасові кореляції, |
Fq s збільшується |
із збільшенням s згідно степеневого закону |
|
F s sh q . |
(3.43) |
q |
|
134
Взагалі, коефіцієнт h q повинен залежати від q. Для стаціонарних часових рядів, h 2 ідентичний коефіцієнту Херста. Таким чином, функцію h q
можна назвати узагальненим коефіцієнтом Херста.
Для монофрактальної часової послідовності h q залежить від q ,
таким чином скейлінгова поведінка відхилень F 2 ,s однакова на всіх
сегментах і процедура усереднення дасть однакові значення скейлінгового коефіцієнта для всіх сегментів послідовності. Лише у випадку, коли масштаби малих і великих флуктуацій відрізняються, буде помітною залежність h q від q : якщо розглядати додатні значення q ,
сегменти з великими значеннями Fs2 (наприклад, великі відхилення
від відповідних інтерполяційних поліномів) буду домінувати у середньому значенні Fq s . Таким чином, для додатних значень q h q описує
скейлінгову поведінку сегментів із великими флуктуаціями. Зазвичай великі флуктуації характеризуються меншими скейлінговими коефіцієнтами h q для мультифрактальних рядів. Навпаки, для від’ємних
значень q сегменти з малими відхиленнями Fs2 будуть домінувати у середньому значенні Fq s . Таким чином, для від’ємних значень q h q
описує скейлінгову поведінку сегментів з малими флуктуаціями, що зазвичай характеризуються більшим скейлінговим коефіцієнтом.
Однак, метод МФ-АДФ може визначати лише додатні узагальнені коефіцієнти Херста h q , і стає неточним для сильно антикорельованих
сигналів, коли h q близьке до нуля. В таких випадках використовується
модифікований МФ-АДФ-аналіз. Більш простим шляхом для аналізу подібних даних може служити інтегрування часового ряду перед виконанням МФ-АДФ процедури (знаходження накопичень). Звідси, просте знаходження суми у (3.43), що описує профіль початкових даних, замінюється подвійним знаходженням суми:
~ |
i |
|
|
|
Y |
i Y k Y . |
(3.44) |
||
k 1
Після цього виконується процедура МФ-АДФ, описана вище, внаслідок чого отримується узагальнена функція флуктуацій
~ |
~ |
q sh q 1. |
(3.45) |
F |
s sh |
||
q |
|
|
|
Таким чином, скейлінгова поведінка може бути точно визначена навіть у випадку, коли h q близьке до нуля (проте більше за –1) для деяких
135
~ |
|
значень q . Зауважимо, що Fq s s |
відповідає Fq s у формулі (3.46). Якщо |
на кожному кроці не віднімається середнє значення, така сума, більш за все, дасть квадратичний тренд у профілі Y~ i . В цьому випадку необхідно
використовувати, щонайменше, МФ-АДФ другого порядку для вилучення такого штучного тренду.
Залежності значення функції Fq s від ширини вікна s при різних степенях функції q для модулів прибутків ряду індексу Dow Jones, що
містить кризу 1929 р., отримані за допомогою методу МФ-АДФ з використанням програмного модулю work2 (додаток 1) наведено на рис. 3.8. Залежність узагальненого показника Херста від степеня функції q для
модулів прибутків ряду індексу Dow Jones, що містить кризу 1929 р., отримана при використанні методу МФ-АДФ наведено на рис. 3.9. Спектр мультифрактальності для модулів прибутків ряду індексу Dow Jones, що містить кризу 1929 р. наведено на рис. 3.10.
Рис. 3.8. Залежності значення функції Fq s від ширини вікна s при різних степенях функції q для модулів прибутків ряду індексу Dow Jones, що містить кризу 1929 р., отримані при використанні методу МФ-АДФ
136
Рис. 3.9. Залежність узагальненого показника Херста від степеня функції q
для модулів прибутків ряду індексу Dow Jones, що містить кризу 1929 р., отримана при використанні методу МФ-АДФ.
Рис. 3.10. Спектр мультифрактальності для модулів прибутків ряду індексу Dow Jones, що містить кризу 1929 р.
137
3.3.5 Метод максимумів модулів вейвлет-перетворення
Ваналізі часових рядів існує дві області представлення характеристик
–часова та частотна – однак, визначення малих флуктуацій у великих наборах даних у часовій області є досить важким, натомість, набагато простішими є виконання перетворень у частотній області. Найбільш часто для перетворення сигналу із часового подання у частотне використовується метод, що називається перетворенням Фур’є. Цей метод був розроблений французьким математиком Ж. Фур’є у 1822 р., який показав, що будь-яка періодична функція може бути представленою у вигляді нескінченної суми косинусів та синусів, яка називається рядом Фур’є:
f x |
1 a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak cos kx bl sin lx , |
(3.46) |
|||||||||
|
2 |
k 1 |
|
|
|
|
|
l 1 |
|
|
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
1 |
|
f x dx , |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ak |
|
|
|
f x cos kx dx , |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
bl |
|
1 |
|
|
f x sin lx dx . |
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Часто функції sin та cos подають з використанням комплексних чисел, використовуючи формулу Ейлера eix cos x i sin x , а саме:
f x F e2 i x d .
Одним з недоліків перетворення Фур’є є неможливість визначати розриви функцій 1-го роду.
Іншим недоліком є відсутність локалізації по часу. Для усунення цього недоліка часто використовують віконне перетворення Фур’є. Як видно з назви, сигнал (часовий ряд) f множиться на деяку віконну функцію
b t t0 , для якої |
b t 0 лише в |
деякому околі точки t0 . Тоді віконне |
перетворення Фур’є f визначається наступним чином: |
||
|
fˆ ,t0 |
f t b t t0 e i t dt . |
|
|
|
138 |
|
|
Очевидно, перетворення буде виконуватись лише на інтерваліt0 ,t0 , оскільки саме він відповідає вікну ширини 2 , що рухається
вздовж часової осі. Однак, цей метод також не дозволяє позбутись проблеми феномена Гіббса.
Саме тому були розроблені більш перспективні методи аналізу часових рядів (сигналів), з яких найбільше поширення в цій галузі отримав вейвлет-аналіз. Це порівняно новий метод, що переважно використовується в обробці цифрових сигналів. В основу покладено аналіз Фур’є як найпоширеніший метод визначення частотного вмісту часового ряду. Проте, як зазначалось вище, цей метод дозволяє отримати інформацію про те, яка потужність сигналу на кожній частоті, однак не дозволяє локалізувати час, коли виникають відповідні частотні компоненти.
У1930 р. фізик П. Леві досліджував типи випадкових часових рядів, використовуючи базисну функцію із змінним масштабом – функцію Хаара. Він визначив, що застосування цієї функції дозволяє точніше визначити малі відхилення при русі по сигналу. Ця властивість стала ключовою концепцією у розвитку вейвлетів, оскільки відповідне перетворення може виконуватись на різних сегментах часового ряду, поданого у часовій області.
П’ять років потому фізик Морле та інженер Гроссман визначили вейвлети в контексті квантумної фізики. Морле подав теоретичну частину у статті про аналіз сейсмічних даних. Гроссман пізніше надрукував статтю про математичні основи вейвлетів.
У1985 р. С. Маллат та Ів Мейєр зробили величезний крок у розвитку вейвлет-аналізу, висунувши ідею про магатомасштабний аналіз. Наступним кроком І. Добеши побудувала сімейство ортонормальних вейвлетів на компактних множинах.
Як зазначалось, вейвлети позбавлені недоліків Фур’є-перетворення. Вейвлет-перетворення є методом, що базується на поданні функцій чи часових рядів у вигляді сум „малих хвиль”. Ці хвилі використовуються таким же чином, як і тригонометричні функції у перетворенні Фур’є, однак, на противагу до нього, вейвлет-перетворення дозволяє локалізувати характеристики одночасно у частотній та часовій областях і визначене на компактній множині. Тому вейвлет-перетворення дуже добре підходить для відображення малих флуктуацій в часових рядах.
Сімейство вейвлетів може бути побудоване на основі функцій, що називаються материнськими вейвлетами, які визначені на скінченних інтервалах. На практиці, однак, також часто використовуються вейвлети, що не визначені на компактних множинах, як Гаусіан та вейвлет Морле. „Дочірні вейвлети” утворюються шляхом переносу (b ) та розтягування ( a ) материнського вейвлета. Окремий вейвлет може бути визначений як
139
|
a,b |
x |
|
a |
|
|
1 |
|
x b |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
. |
|
(3.47) |
|||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді перетворення виконується шляхом внутрішнього добутку |
||||||||||||||||
отриманого дочірнього вейвлета a,b |
та функції |
f : |
|
|||||||||||||
W f a,b |
1 |
|
|
|
f t |
t b |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt . |
(3.48) |
||||||||
a |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||
Цей метод має багато спільного з віконним перетворенням Фур’є. |
||||||||||||||||
Різниця полягає у поведінці функції |
|
b t t0 |
e i t , |
що аналізується, та |
||||||||||||
вейвлета . Функція b t t0 e i t |
|
залишається незмінною протягом всього |
||||||||||||||
перетворення, в той час як вейвлет змінює свою ширину в залежності від частоти. Саме тому вейвлети з великою частотою дуже вузькі, тоді як низькочастотні вейвлети є більш широкими. Це надає вейвлетперетворенню властивість „масштабування” часового ряду на високих чатотах.
З розвитком вейвлет-перетворення отримав велике розповсюдження багатомасштабний аналіз. Як випливає з назви методу, він дозволяє аналізувати часовий ряд на різних частотах з різними масштабами. Взявши певний масштаб, часовий ряд апроксимується, внаслідок чого ігноруються всі флуктуації, масштаби яких менші даного. Із збільшенням масштабу до опису додаються все точніші деталі аналізованого часового ряду, дозволяючи отримати все точнішу апроксимацію. В результаті з’являється можливість відтворити вихідний часовий ряд, використавши всю інформацію, що знаходилась на всіх масштабах.
Такий метод розроблений для отримання достатньої точності в часовій області та малої в частотній на великих частотах, і достатньої точності в частотній області та малої в часовій на малих. Такий підхід особливо цінний у випадках, коли часовий ряд має високочастотні ділянки протягом малих часових інтервалів та низькочастотні компоненти, що спостерігаються протягом тривалих періодів.
Більшість інформації у часовому ряді передається за допомогою його нерегулярної структури та його властивості переносу, що називається сингулярністю. Завдяки можливості розділяти часовий ряд на елементарні будівельні блоки, добре визначені у часовій та частотній області, вейвлетперетворення допомагає визначати сингулярності часового ряду. Таким чином, вейвлет-перетворення має здатність визначати локальну регулярність часового ряду.
140