задания / gold / Канторович - Лекции по анализу временных рядов / 4

508 ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ВШЭ ¹ 4

Очевидно, что β невозможно представить в виде функции от параметров, входящих только в множество θr1 . Более того, параметры из множеств θr1 è θr2

связаны очевидным соотношением α2δ1 = α1δ 2 , т.е. не являются свободно варьи-

свободно варьируемыми. Таким образом, в этом случае xt является слабо экзогенной переменной для параметра β .

Как еще одну модификацию рассмотрим случай, когда σ12 вновь не равно нулю, но мы интересуемся другим параметром –δ0 из преобразованного уравнения. Очевидно, что параметр δ0 представим как функция параметров из множества θr1 , но условие свободной варьируемости не выполнено. Следовательно, процесс xt не является слабо экзогенным и для параметра δ0 .

Обратите внимание, что если переменная не является слабо экзогенной для параметра, то это еще не означает, что этот параметр нельзя оценить. Например,

попытка оценить параметр β методом наименьших квадратов дает несостоятельную оценку, поскольку xt очевидно коррелирует с ε1t

( cov(xt ,ε2t ) = cov(ε1t ,ε2t ) = σ12 ).

А вот корреляция переменной xt с возмущением ut равна нулю, поэтому оценка параметра δ0 методом наименьших квадратов состоятельна. Но вот точность оценки (ее эффективность) снижена, так как в модель не инкорпорирована отме- ченная связь между параметрами множеств θr1 è θr2 .

Сильная экзогенность (strong exogeneity)

В соответствии с [4] переменная xt называется строго экзогенной для параметра β , если она слабо экзогенна для него, и объясняемая переменная yt íå

является причиной по Грэнджеру для переменной xt . Понятие причинности по

Грэнджеру (Granger causality) было введено в работе [6]. Этот термин сегодня расценивается как не очень удачный, прежде всего из-за дословного совпадения с причин- но-следственными отношениями в обычном смысле, но он уже прочно укоренился в литературе. Лимер [12] предлагал более удачный термин «предшествование» (precedence), но в практике укоренилась именно причинность по Грэнджеру.

Основной посылкой Грэнджера было то, что будущее не может быть причи- ной настоящего или прошлого. Поэтому, если событие А произошло после события В, то А определенно не может быть причиной В. Но, как знает каждый, «после того не значит вследствие того». При анализе временных рядов часто хо-

телось бы знать, предшествует ряд xt ðÿäó yt , èëè yt предшествует xt , èëè îíè

«одновременны». Например, предшествует сжатие денежной массы падению производства в России 1990-х гг., или между ними нет соотношения предшествования (причинности по Грэнджеру).

Понятие причинности по Грэнджеру имеет более широкое применение, чем то, в котором мы будем его использовать. Это, скорее, понятие информационное.

Сначала запишем формальное определение. Рассмотрим некоторый процесс Zt , не важно, многомерный или нет. Представим себе, что мы рассчитываем условное математическое ожидание этого процесса: E(Zt+1 Ωt ), ãäå Ωt – вся возможная

информация, которая существует в мире в момент t. Потом из всевозможной информации, которая известна к моменту t, удаляем информацию о некотором про-

формации об xt меняет условное математическое ожидание, то xt является при- чиной по Грэнджеру для Zt .

Åñëè xt – причина по Грэнджеру для Zt , то это не означает, что между этими процессами есть причинно-следственная связь. Единственный вывод состоит в том, что уж если переменная xt не является причиной по Грэнджеру для

переменной Zt , то она не является ее причиной и в обычном смысле. Грэнджер [6] предложил метод тестирования причинности по Грэнджеру. Он предложил построить регрессию процесса Zt на его собственные предыдущие значения и на

этого проверить обычную гипотезу о равенстве нулю группы коэффициентов:

ние и укороченное, и сравниваются остаточные суммы по F-статистике. Если ну-

510 ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ВШЭ ¹ 4

левая гипотеза отвергается, то xt является причиной по Грэнджеру для Zt . Если же нулевая гипотеза не отвергается, то прошлое процесса xt не оказывает влияние на процесс Zt и не является его причиной по Грэнджеру.

Симс в [16] предложил другой подход: xt не является причиной по Грэнджеру для yt , если в регрессии yt на прошлые, текущие и предыдущие значения xt коэффициенты при будущих значениях xt совместно равны нулю. Для проведения теста строим регрессию

m

yt = åβi xt−1 + εt i=−k

и проверяем гипотезу H0 : β−i = 0 (i = 1, …, k ) против естественной альтернативы. Если нулевая гипотеза отвергается, то знание будущих значений xt не позволяет улучшать прогноз yt . Хотя с эконометрической точки зрения тесты

Грэнджера и Симса не тождественны, они проверяют одно и то же свойство [3]. Оба теста, впрочем, весьма чувствительны к числу лагов, включенных в тестовое уравнение. Идейно тесты должны включать бесконечное число лагов, т.е. всю

предысторию xt . Но нас ограничивает длина реализации, во-первых, в количест-

ве лагов, которое можно применять, во-вторых, падающее число степеней свободы тоже может повлиять на мощность этого теста. Хорошие рекомендации по выбору числа лагов отсутствуют.

Если группа регрессоров является строго экзогенной для параметра β , òî

этот параметр можно оценить из уравнения регрессии, используя только информацию об условном распределении. В этом случае также можно прогнозировать

процесс yt , основываясь на прогнозе процесса xt по его собственным прошлым значениям.

Суперэкзогенность (super exogeneity)

Говорят, что группа регрессоров является суперэкзогенной, если изменение их совместного распределения не меняет условного распределения объясняемой

переменной yt . Это свойство связано с так называемой критикой Лукаса [13]. Она

заключается в следующем. Одна из целей эконометрического моделирования состоит в прогнозировании эффекта от изменений экзогенных переменных. Однако при изменении этих переменных экономические агенты видят, что происходят изменения, меняют свое поведение и, тем самым, меняют параметры экономиче- ской системы. Поэтому модель с постоянными параметрами, говорил Лукас, не адекватна реальным экономическим системам. Свойство суперэкзогенности выделяет модели экономических систем, к которым критика Лукаса не применима.

В соответствии с уже упоминавшимся подходом Cowles Foundation [10] экзогенность переменных и причинно-следственные отношения между переменны-

ми не тестируются, они специфицируются из содержательных априорных соображений. Современный же подход [4] предполагает тестирование экзогенности. По самому смыслу этого свойства для проверки, влияет или нет учет распределения регрессоров на оценки регрессии, использующие только условное распределение, нужно построить обе модели: учитывающую DGP (Data Generating Process) полностью и уравнение регрессии. Но если мы в состоянии построить модель, учитывающую DGP полностью, то необходимость в регрессии просто пропадает.

Рассмотренный выше пример с исследованием слабой экзогенности процесса xt относительно параметра β показывает, что нарушение этого свойства связано с наличием регрессора yt−1 во втором из уравнений и с неравенством нулю ковариации σ12 . Следовательно, наличие слабой экзогенности является частным слу- чаем общей модели при ограничениях на значения параметров: σ12 = 0, α2 = 0 .

Поэтому для тестирования слабой экзогенности представляется естественным применение теста множителей Лагранжа, при котором оценивается только модель с ограничениями на параметры. Тест, использующий тест множителей Лагранжа для тестирования слабой экзогенности, был разработан Энглом [4].

В условиях нулевой гипотезы оба уравнения для yt è äëÿ xt могут быть оценены МНК по отдельности. Обозначим остатки соответствующих регрессий через ey è ex , причем в обе регрессии включены свободные члены, если только они не должны там отсутствовать из содержательных соображений. Далее строим

фициент детерминации последней регрессии, а (T − 1) – количество наблюдений при ее оценке.

Асимптотически эквивалентный результат можно получить, используя R 2 регрессии ex на константу, xt −1 , yt−1 è ey . Этот подход требует построения трех регрессий. Можно ограничиться построением только двух, если воспользоваться теоремой Фриша–Вау. В этом варианте теста мы строим регрессию yt на константу, xt è ex , а затем проверяем значимость коэффициента при ex с помощью статистики Стьюдента. Статистический вывод асимптотически эквивалентен предыдущим модификациям. Последняя версия заключается в регрессии xt на константу, xt −1 , yt−1 è ey и проверке значимости коэффициента при ey .

Для тестирования сильной экзогенности мы тестируем слабую экзогенность и затем причинность по Грэнджеру, как это описано ранее. Проверка суперэкзогенности проводится в три этапа. Сначала проверяется слабая экзогенность. Затем проверяется стабильность параметров условного распределения из множест-

âà θr1 . Для этой цели могут использоваться введение dummy-переменных и про-

верка их значимости, тест Чау и другие тесты.

Если стабильность параметров условного распределения установлена, то на третьем этапе проверяется стабильность параметров из множества θr2 . Проверку имеет смысл проводить, используя dummy-переменные. Если параметры из множества θr2 оказываются стабильными, то имеющиеся данные не дают оснований

для вывода о суперэкзогенности. Если же нестабильность параметров из θr2 óñòà-

новлена, то значимые dummy-переменные добавляются в качестве дополнительных регрессоров в исследуемую регрессию. Если введенные dummy-переменные оказываются незначимыми в совокупности, то суперэкзогенность установлена.

На другой идее проверки слабой экзогенности основан тест Ву–Хаусмана [7, 18]. При отсутствии слабой экзогенности регрессор xt коррелирован со слу-

чайным возмущением, поэтому МНК оценки коэффициентов регрессии являются смещенными и несостоятельными. Состоятельные оценки дает метод инструментальных переменных (IV), о котором мы говорили в курсе эконометрики. Напом-

ню, что инструментальной переменной (инструментом) для xt называется любая переменная zt , некоррелированная со случайным возмущением, но коррелированная с xt . Тест Ву–Хаусмана сравнивает две оценки: метода наименьших

квадратов и метода инструментальных переменных. При нулевой гипотезе слабой экзогенности обе оценки состоятельны и асимптотически эквивалентны. При альтернативной гипотезе оценки не эквивалентны.

В качестве инструмента выбирается оценка xt методом наименьших квадратов. Проиллюстрируем применение теста Ву–Хаусмана на рассматриваемом примере.

yt = βxt + ε1t

xt = α1 xt−1 + α2 yt−1 + ε2t

с теми же свойствами случайных возмущений. На первом шаге строим регрессию,

соответствующую второму уравнению, и обозначим через xt рассчитанные зна- чения xt . Далее оцениваем регрессию

yt = βxt + γ xt + εt

и проверяем значимость коэффициента γ. В общем случае нескольких регрессоров строятся инструменты для каждого из них, все инструменты добавляются в регрессию, и проверяется гипотеза о совместной значимости коэффициентов при инструментальных переменных. Если нулевая гипотеза не отвергается, делается вывод о наличии слабой экзогенности.

Впрочем, на практике достаточно часто просто постулируют слабую экзогенность переменных, исходя из содержательных соображений. Напомним, что стационарность переменных и слабая экзогенность регрессоров позволяют полу- чить состоятельные оценки коэффициентов ADL моделей, и обычные процедуры проверки гипотез являются асимптотически верными.

влекаясь от проблемы экзогенности, оценить функцию потребления просто из второго соотношения методом наименьших квадратов?

Модель представленного типа называется одновременными уравнениями. В данном случае у нас два уравнения, причем эконометрическое у нас только одно. Первое соотношение – это обычное экономическое тождество, мы ничего не оце-

ниваем в этом уравнении. Мы хотим оценить только коэффициенты α è β , но из-за того, что существует дополнительное экономическое тождество, появляется проблема. Если просто подставить Ct в первое соотношение, то получим

Yt = α + βYt + Zt + ut . Разрешив полученное уравнение относительно национального дохода, получаем Yt = 1-αβ + 1-1β Zt + 1-1β ut . Подстановка Yt во второе уравнение дает так называемую приведенную (reduced) форму модели:

Теперь эндогенные переменные выражены через экзогенные переменные и случайные возмущения. Различие между структурной и приведенной формой носит не только математический, но и содержательный характер. Вообще-то нас интересуют коэффициенты структурных уравнений, они имеют экономический

смысл. Например, β – это предельная склонность к потреблению. А коэффициенты в приведенной форме уже не несут экономического смысла.

Приведенная форма явно показывает, что переменная Yt коррелирована со случайным возмущением ut . Формально в структурное уравнение, определяющее

Yt , не входит никакая случайная компонента. Тем не менее, из-за того, что это одновременные уравнения, Yt зависит от ut . Это означает, что метод наименьших

квадратов даст смещенную и несостоятельную оценку при оценивании функции потребления. Он приведет к смещению, вызванному совместными уравнениями. Даже асимптотически метод наименьших квадратов, примененный к структурному уравнению, приводит к плохим результатам. Из-за одновременности уравнений ошибка из любого уравнения как бы проникает во все остальные уравнения.

Можно использовать МНК для оценки коэффициентов приведенной формы, если экзогенная переменная Zt детерминирована или не коррелирует с возмуще-

íèåì ut . Для нахождения коэффициентов структурной формы применяются два способа.

1. Косвенный (indirect) метод наименьших квадратов. Методом наименьших квадратов оцениваем коэффициенты приведенной формы, для чего оцениваем регрессии:

Каждая из регрессий оценивается отдельно. Для нахождения параметров структурной формы α è β можно попытаться решить систему уравнений:

Очевидно, что эта система четырех уравнений с двумя неизвестными, вообще говоря, не имеет решения. В этом и состоит основной недостаток косвенного метода наименьших квадратов. Приведенную систему всегда можно оценить. Предположим, система состоит не из двух, а из 10 уравнений с 10 переменными. Выбираем эндогенные и экзогенные переменные и строим регрессию каждой эндогенной переменной на все экзогенные. После этого основной вопрос заключается в том, можно ли от коэффициентов приведенной формы вернуться однозначно к структурным коэффициентам, которые и имеют содержательный смысл. Говорят, что система идентифицируема, если по коэффициентам приведенной формы можно однозначно вернуться к структурным коэффициентам. Иногда соответствующая система уравнений противоречива, иногда решения будут существовать, но не будут единственными. Существуют системы одновременных уравнений, в которых косвенный МНК приводит к однозначному результату. Идентифицируемость зависит в том числе и от того, сколько экзогенных переменных присутствуют в модели и как они входят в структурные уравнения. В этом, на самом деле, одна из причин того, что в нашем примере мы не можем оценить структурные коэффициенты – у нас одна единственная экзогенная переменная, всего два структурных параметра и четыре – в приведенной системе. С проблемой идентифицируемости вы познакомитесь подробней в дальнейшем курсе эконометрики при изу- чении темы «системы одновременных уравнений». Кажущийся таким простым косвенный метод наименьших квадратов не всегда может дать оценки структурных параметров.

Для дальнейшего изложения важно понять, что, имея систему одновременных уравнений, нельзя оценивать каждое уравнение в отдельности из-за того, что эндогенные переменные входят и в левую, и в правую часть, и из-за того, что равновесие определяется всеми уравнениями вместе. Случайная ошибка из любого уравнения проникает во все остальные, из-за чего оказываются коррелированны регрессор и случайное возмущение.

2. Метод инструментальных переменных. Этот метод известен из курса эконометрики и кратко упоминался в предыдущей лекции. В случае системы одновременных уравнений можно легко предложить набор инструментальных переменных. Они строятся как линейные комбинации экзогенных переменных, подобранные так, чтобы не было коррелированности инструментов и случайных возмущений. Этот метод тоже зависит от того, насколько идентифицируема оцениваемая система уравнений. При отсутствии лаговых переменных двумя относительно широко применяемыми вариантами этого подхода являются так называемые двухшаговый МНК и трехшаговый МНК. Мы не будем на них специально останавливаться. Это отдельная проблема.

Возвращаясь к временным рядам, мы видим, что при оценивании моделей, состоящих из нескольких уравнений, возникают сложности, связанные с наличием среди регрессоров «одновременных» составляющих. Кроме того, надо попытаться разделить переменные на эндогенные и экзогенные. Иногда это разделение экономически оправдано (как в вышерассмотренном примере), иногда не очень. Например, один из подходов к исследованию эффективности рынка – это моделирование временных рядов кросс-курсов различных валют и цен разных финансовых инструментов. Например, рассматривая курсы рубль/доллар, доллар/евро, рубль/евро, трудно сказать, какой из них естественно выбрать эндогенной переменной, а какие – экзогенными.

Векторная авторегрессия

В 1980 г. Симс [15] предложил подход, который позволяет уйти от разделения переменных на экзогенные и эндогенные и избавиться от сложностей, связанных с одновременностью уравнений. Этот подход является к тому же естественным обобщением подхода Бокса–Дженкинса к моделям ARIMA и носит название VAR, или векторная авторегрессия. В принципе существует и VARIMA [17], но, как мы увидим дальше, это скорее теоретически, чем практически. Для того, чтобы избежать смещения, связанного с применением МНК непосредственно к каждому уравнению структурной формы, Симс предложил, не производя деления переменных на экзогенные и эндогенные, представить каждую из компонент многомерного случайного процесса как линейную комбинацию от предыдущих значений всех переменных.

Рассмотрим сначала пример двумерного вектора и только одного лага. Пусть,

Здесь случайные возмущения предполагаются белыми шумами, вообще говоря, коррелированными. Стандартное обозначение этой модели – VAR(1), где 1 – число лагов. Размерность многомерного случайного процесса обычно не указывается.

Модель VAR(p) в матрично-векторных обозначениях имеет вид:

Одновременные компоненты не входят в правую часть. Для рассмотренного двумерного примера получаем: