На правах рукописи

Марков Андрей Аркадьевич математические методы анализа фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков

Специальность 08.00.13 «Математические и инструментальные методы экономики»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук

Москва – 2010

Работа выполнена на кафедре «Математика» ФГОУ ВПО «Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации»

Научный руководитель кандидат физико-математических наук, доцент

Гисин Владимир Борисович

Официальные оппоненты доктор экономических наук, профессор

Костюк Владимир Николаевич

кандидат физико-математических наук

Дубовиков Михаил Михайлович

Ведущая организация Учреждение Российской академии наук «Центральный экономико-математический институт РАН»

Защита состоится «02» июня 2010 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 505.001.03 при ФГОУ ВПО «Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации» по адресу: 125993, Москва, Ленинградский просп., 55, ауд. 213.

С диссертацией можно ознакомиться в диссертационном зале Библиотечно-информационного комплекса ФГОУ ВПО «Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации» по адресу: 125993, Москва, Ленинградский просп., 49, комн. 203.

Автореферат разослан «29» апреля 2010 г. и размещен на официальном сайте ФГОУ ВПО «Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации»: http://www.fa.ru/

Ученый секретарь совета Д 505.001.03,

кандидат экономических наук, доцент О.Ю. Городецкая

1. Общая характеристика работы

Актуальность проводимого исследования. Начиная с середины ХХ века нелинейные методы начинают все более широко применяться при анализе динамики ценообразования фондовых рынков.

С научной точки зрения гипотеза фрактального рынка является парадигмой, описывающей взаимодействие участников рынка и ценообразование активов как результат этого взаимодействия. Предпосылки гипотезы фрактального рынка (разнообразие инвестиционных горизонтов участников как основной фактор устойчивости рынка, коррелированность доходностей рисковых активов на непересекающихся временных промежутках, трактовка обвалов и скачков как реакции на снижение рыночной ликвидности) являются существенно более приближенными к реальному положению дел, чем традиционные положения гипотезы эффективного рынка (рациональность участников рынка, мгновенная реакция цен на поступившую информацию, трактовка обвалов и скачков как перехода к новому равновесному состоянию).

С практической точки зрения исследование фрактальных свойств ценообразования активов позволяет получать более точную оценку рыночных рисков. Благодаря этому могут быть получены рекомендации, необходимые для работы как частных, так и институциональных инвесторов. В рамках гипотезы фрактального рынка динамика доходностей рисковых активов описывается процессом фрактального броуновского движения (далее – ФБД).

В то же время существуют объективные препятствия к практическому применению теоретических методов оценки стоимости рисковых активов в рамках гипотезы фрактального рынка. Во-первых, фрактальный рынок допускает арбитраж, что лишает возможности использовать аппарат риск-нейтральных вероятностных мер для оценки цен производных финансовых инструментов. Во-вторых, вычисление значений фрактальных характеристик, выступающих в роли параметров моделей с ФБД, зачастую затруднено из-за наличия авторегрессионных зависимостей между элементами исследуемого временного ряда, влияния тренда или присутствия «выбросов» среди элементов ряда.

Актуальность исследования обусловлена высокой практической значимостью и недостаточной проработкой проблемы безарбитражной оценки справедливой стоимости рисковых активов на фрактальном рынке. Указанная проблема особенно актуальна в условиях российского фондового рынка, характеризующегося повышенной волатильностью, что влечет потребность участников рынка в эффективном инструменте адекватной оценки рыночных рисков.

Степень разработанности проблемы. Моделирование динамики ценообразования рискового актива опирается на аппарат теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов, который восходит в первую очередь к достижениям выдающегося ученого А.Н. Колмогорова, а также П.Л. Чебышева, А.А. Маркова (старшего), А.М. Ляпунова, А.Я. Хинчина, С.Н. Бернштейна, Б.В. Гнеденко, Ю.В. Прохорова, Ю.А. Розанова, И.В. Гирсанова и др.

В области стохастической финансовой математики центральное место занимают фундаментальные труды А.Н. Ширяева, а также работы Г. Фёлмера, А. Шида, Т. Андерсена, Т. Боллерслева, В.И. Аркина, И.В. Евстигнеева, Э.Л. Пресмана, А.Д. Сластникова, Ю.М. Кабанова, Д.О. Крамкова, А.В. Мельникова, К. Болл, О. Барндорф-Нильсена, Т. Бьорка, У. Брока, Д. Хсие, К. Чоу, М. Докоронья, Ф. Делбаена, У. Шахермайера, Д. Даффи, М. Эмери, Дж. Харрисона, Т. Хо, С. Ли, О. Васичека и др.

Применение теории случайных процессов для описания динамики цен на фондовых рынках началось с работ Л. Башелье. В дальнейшем его результаты были дополнены и развиты в работах Г. Марковица, Р. Мертона, Ф. Модильяни, М. Миллера, П. Самуэльсона, У. Шарпа, Э. Фама и др.

Развитие финансовых приложений теории случайных процессов потребовало выработки подходов к оценке стоимости производных инструментов. Методы оценки стоимости производных финансовых инструментов разработаны такими учеными, как Ф. Блэк, М. Шоулз, Дж. Кокс, Р. Росс, М. Рубинштейн, Дж. Халл, С. Рачев, Дж. Константинидис, С. Перракис.

Использование идей теории фракталов в анализе фондовых рынков обязано своим рождением Б. Мандельброту, чьи подходы были развиты и популяризированы Э. Петерсом. Помимо этих авторов, в области фрактального анализа финансовых временных рядов в разные годы значимые результаты получены М.М. Дубовиковым, Н.В. Старченко, С.Е. Тепловым, Л.В. Клочихиным, Д.А. Филатовым, В.Н. Якимкиным, В.Н. Костюком, Дж. Браун, Р. Клеггом и рядом других ученых, проводивших фрактальный анализ национальных фондовых рынков своих стран: А. Ло, Т. Миллс, Т. Люкс, В. Чоу, М. Пэн, Р. Сакано, И. Лобато, Н. Савин, У. Уиллинджер, М. Такку, В. Теверовский, С. Чен, Г. Нэт, Дж. Кавальканте, А. Ассаф, Е. Панас, Ю. Тольви, С. Садик, П. Сильвапулль, Д. Кажуэйро, Б. Табак, Г. О, К. Ум, С. Ким.

Аппарат эконофизики и нелинейной динамики развит в работах М. Осборн, В.И. Арнольда, П. Берже, И. Помо, К. Видаля, Г. Шустера, А.Ю. Лоскутова, А.С. Михайлова, М.Ю. Романовского, Ю.М. Романовского, Р. Мантеня, Х. Стенли, Д. Сорнетта, Б. Жу и др.

Свойства фрактального броуновского движения исследованы в работах Т. Соттинена, Э. Валкейла, П. Гуасони, Б. Оксендаля, Й. Ху, Р. Эллиотта, Дж. Ван дер Хойка, П. Чередито, Л. Роджерса, Ю. Мишуры, Ш. Ростека и др.

Однако на сегодняшний день подходы к практическому применению гипотезы фрактального рынка являются недостаточно проработанными. Научное сообщество знает, как выявить и вычислить фрактальные характеристики рыночных инструментов, но только приближается к получению точных оценок справедливых цен этих инструментов. Сложности обусловлены как минимум двумя причинами:

• арбитраж во фрактальных моделях ценообразования рисковых активов;

• трудности экономической интерпретации ряда математических результатов (таких, например, как исключение арбитража путем модификации интеграла в представлении ФБД).

Естественно, что две перечисленные проблемы автоматически порождают третью – многие из разработанных теоретических подходов к анализу фрактального рынка пока что так и остаются теорией, не нашедшей достаточного применения в практической инвестиционной деятельности. Однако быстрое развитие рынка России в сочетании с посткризисным переосмыслением отношения к риску во всем финансовом мире требует скорейшего внедрения более совершенных методов анализа рыночной конъюнктуры.

Необходимость совершенствования подходов к использованию гипотезы фрактального рынка при оценке справедливой стоимости рисковых активов на фондовых рынках обуславливает актуальность темы исследования, предопределяя ее структуру, цель и задачи.

Цель диссертационного исследования – решение научной проблемы совершенствования подходов к вычислению безарбитражных оценок справедливых цен рисковых активов на фрактальном рынке.

Для достижения этой цели поставлены следующие задачи: 1) оценка значений фрактальных характеристик фондовых индексов (показатель Херста, корреляционная размерность, размерность вложения и др.); 2) выявление циклов в динамике цен на рынках; 3) на основе (1) и (2) моделирование динамики ценообразования рисковых активов на основе фрактального броуновского движения; 4) оценка справедливой стоимости производных инструментов на фрактальном рынке с пропорциональными транзакционными издержками; 5) сравнение результатов расчетов с помощью моделей из (3)-(4)с актуальными данными по торгам и их тестирование в динамике.

Объект исследования – фондовые рынки (на примере рынков России и США).

Предмет исследования – фрактальные свойства фондовых рынков (фрактальная размерность и показатель Херста фондовых индексов, циклы в динамике ценообразования на рынках, персистентность/антиперсистентность, корреляционная размерность, размерность вложения) и их влияние на оценку справедливой стоимости торгующихся рисковых активов.

Теоретическая и методологическая основа исследования – теоретические и методологические положения, содержащиеся в трудах российских и зарубежных авторов в таких областях науки, как теория вероятностей и математическая статистика, теория случайных процессов, стохастическая финансовая математика, фрактальная геометрия, нелинейная динамика. Важнейшую роль при написании работы сыграли работы (преимущественно зарубежные) в области исследования свойств фрактального броуновского движения и его финансовых приложений. Программно-технический комплекс фрактального анализа финансовых временных рядов и оценки справедливой стоимости рисковых активов реализован с использованием компьютерных программ MathCad Professional и Microsoft Excel.

В процессе написания работы были применены следующие методы исследования: методы теории вероятностей и математической статистки, эконометрические методы.

Содержание диссертационного исследования соответствует специальности 08.00.13 – Математические и инструментальные методы экономики.

Информационной базой исследования послужили:

• научные источники в виде данных из монографий, а также работ российских и зарубежных авторов в области теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, стохастической финансовой математики, инвестиций и рынка ценных бумаг опубликованных в монографиях, периодической печати, в виде препринтов, научных докладов, материалов конференций и семинаров;

• статистические источники в виде итогов торгов на фондовых площадках, находящихся в свободном доступе в сети Internet;

Научная новизна диссертации заключается в уточнении количественных характеристик фрактальных свойств динамики цен фондовых рынков и получении безарбитражных оценок справедливой стоимости рисковых активов на фрактальном рынке с пропорциональными транзакционными издержками. Новыми являются следующие научные результаты.

1. Получены уточненные оценки фрактальных характеристик (показатель Херста, корреляционная размерность, размерность вложения, длительность персистентных циклов) фондовых индексов в рамках предположений гипотезы фрактального рынка.

2. С помощью реализованных и впервые примененных в условиях российского рынка методов, основанных на модели с ФБД, получены оценки справедливой стоимости рисковых активов и фьючерсных опционов на эти активы.

3. На основе сопоставления результатов расчетов с реальными торговыми котировками показано, что указанные методы применимы как минимум на российском фондовом рынке.

4. Показано, что результаты расчетов на основе моделей из (2) существенно меняются даже при незначительных изменениях ключевого параметра – показателя Херста, что свидетельствует о чувствительности моделей и наглядно демонстрирует роль учета фрактальности в повышении точности оценки рыночных рисков.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Теоретическая значимость научных результатов заключается в том, что основные выводы и положения диссертации развивают теоретико-методологическую базу анализа динамики цен на фондовых рынках, адаптируя ее к российским условиям.

Практическая значимость результатов состоит в получении участниками фондового рынка инструмента для более точной (в сравнении с оценками на основе предположений гипотезы эффективного рынка) оценки рисков в процессе инвестиционной деятельности.

Результаты исследования также могут быть использованы в процессе преподавания аналитических дисциплин студентам экономических специальностей.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные результаты исследования были изложены и обсуждены в рамках следующих мероприятий: «круглый стол» по теме «Российский финансовый рынок: проблемы повышения конкурентоспособности и роли в инновационном развитии экономики», проведенный под научным руководством д.э.н., проф. Л.Н. Красавиной (Финакадемия, 2007 г.); «круглый стол» для аспирантов по теме «Российский финансовый рынок и его роль в инновационном развитии экономики», проведенный под научным руководством д.э.н., проф. Л.Н. Красавиной (Финакадемия, 2008 г.); «круглый стол» для аспирантов по теме «Финансовые аспекты инновационного развития экономики России», проведенный под научным руководством д.э.н., проф. Л.Н. Красавиной (Финакадемия, 2009 г.); «круглый стол» для аспирантов по теме «Мировой финансово-экономический кризис и перспективы инновационного развития экономики России: финансовый, кредитный, валютный аспекты», проведенный под научным руководством д.э.н., проф. Л.Н. Красавиной (Финакадемия, 2010 г.); Пятая международная конференция по прикладной математике и численным методам (Технический университет г. Пловдив, Болгария, 12-18 августа 2008 г.); Seminar on Actual Methods of Financial Risk Management – Российско-австрийский Семинар по актуальным методам финансового риск-менеджмента (Финакадемия, 13-18 сентября 2009 г.); Первый Российский экономический конгресс (РЭК-2009) Новой экономической ассоциации (НЭА) и Секции экономики Отделения общественных наук РАН (МГУ им. М.В. Ломоносова, 7-12 декабря 2009 г.).

Результаты исследования нашли практическое применение в ООО «Менеджмент-консалтинг». В работе Аналитического отдела этой организации используется методология оценки справедливой стоимости опционов на фрактальном рынке, а также описанная в исследовании дискретная модель ценообразования базисных и производных финансовых инструментов.

Материалы исследования используются кафедрой «Математика» ФГОУ ВПО «Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации» в преподавании учебной дисциплины «Стохастическая финансовая математика». Внедрение результатов исследования в указанных организациях подтверждено соответствующими документами.

Работа выполнена в рамках направления исследования НИР кафедры «Математика» ФГОУ ВПО «Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации» по теме «Развитие математических инструментов исследования финансово-экономических процессов» в соответствии с Комплексной темой «Пути развития финансово-экономического сектора России».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 печатных работы (в том числе 3 – в изданиях, определенных ВАК) общим объемом 2,2 п.л. (авторский объем – 2,0 п.л.).

Структура диссертационной работы. Структура диссертации обусловлена целью, задачами и логикой исследования. Диссертация состоит из 3 глав, содержащих соответственно 8, 10 и 3 параграфа, включает 68 рисунков, 32 таблицы, 82 формулы. Общий объем составляет 163 страницы.