задания / Диссертация - Моделирование финансвовых рынков

- 51 -

ка AR(p) (т.е. p временных лагов в авторегрессионном процессе), смешанные модели авторегрессии и скользящего среднего порядка (p,q) – ARMA (p,q).

Так, процесс ARMA(3,2) выглядит следующим образом:

ut - остаточный член ошибки в уравнении.

ARMA процессы предполагают, что временные ряды стационарны, то есть обладают постоянной средней и дисперсией. Отметим, что в экономике и финансах редкие ряды обладают этими свойствами. Мандельброт [130] отметил, что «большие изменения цен активов влекут за собой большие изменения в сторону как возрастания, так и убывания, в то время как малые изменения влекут малые изменения. В частности, финансовые переменные имеют спокойные периоды, за которыми следуют периоды сравнительной нестабильности, т.е. нестабильность является непостоянной, а изменяющейся во времени».

Разработанные в 80-х годах методы (111, 120-122) дают эконометрические инструменты предсказания будущей нестабильности. Так, в случае нестабильности изменчивой во времени, экономическим посредникам разумно требовать изменяющуюся во времени премию за риск (рамки анализа которого задает модель ARCH математического ожидания) в качестве принятия на себя финансового риска.

Понятие ARCH (Autoregressive conditional heteroscedasticy – авторегрес-

сионная условная гетероскедастичности) было введено Инглом и обобщенно Боллерслейем до общей ARCH или GARCH. Эти модели относятся к нелинейным стохастическим процессам в отличие от линейно-зависимых процес-

сов AR и MA.

Определим характеристики модели ACRH:

p

rt =α0 + ∑αi rt−i +εt (1.29)

i=1

-52 -

-авторегрессионная модель доходности.

Здесь, так как обусловлено предыдущими значениями, является условной средней доходностью. Моделирование условной средней имеет своей целью определение ряда квадратов остатков (εt2 ) , при помощи которых можно найти условную дисперсию. В модели ARCH предполагается, что ос-

татки обладают непостоянной дисперсией h2 . Тогда

где z ~ N(0,1).

Таким образом, уравнение условной дисперсии на основании временных рядов с любым число лагов (p) при расчете квадратных остатков, включенных в модель можно записать так:

Эта форма записи и называется линейной моделью ARCH (p). Возможные трудности, связанные с использованием ARCH-модели мо-

гут быть связаны с неотрицательностью величины air , это необходимо для того, чтобы условная дисперсия всегда была положительной. При включении большого числа лагов это ограничение может быть нарушено. Боллерслев [82] избежал длиннолаговой структуры ARCH(q) путем включения предыдущих значений условной дисперсии и назвал эту обобщенную модель –

GARCH-моделью:

где εi2 - предыдущие квадраты остатков из уравнений условной средней,

Значения коэффициентов α и β >0 позволяют избежать возможности появления отрицательных значений условных дисперсий.

Отметим, что эволюция семейства ARCH-моделей привела к возможности объяснть все более сложные феномены в поведении цен финансовых инструментов. Так модель E-GARCH(p,q) разработанная Ф. Блэком (110) по-

- 53 -

зволяет объяснить эффект ассиметрии (волатильность стремится к возрастанию после падения цен, то есть после убывания величин возврата). В модели HARCH(p) [118] характер убывания автокорреляционной функции для квадратов величин ht более медленный, чем в моделях типа ARCH и GARCH. Этот же эффект памяти свойственен и моделям FIGARCH [109].

Отметим, что, несмотря на популярность семейства ARCH-моделей в применении к реальным финансовым рядам данным, оказалось, что каждая из моделей охватывает некоторые периоды поведения эмпирических данных на рынках, но ни одна не является удовлетворительной. Как замечает Петерс [68], каждая из них обращается к локальному свойству рынков и «многие из этих локальных свойств связаны с некоторыми инвестиционными горизонтами, но не со всеми. Процессы AR, например, характерны для очень высокочастотных данных, таких как однодневная торговля. GARCH имеет распределение с толстыми хвостами и высоким пиком, но она не самоподобна; параметры GARCH кажутся зависимыми от периода и не являются постоянными при поправке на масштаб». Кроме того, после отфильтровывания процессов кратковременной памяти, ни одна из моделей не обнаружила долговременную память, наличие которой можно объяснить при помощи методов нелинейной динамики.

-54 -

2.РАЗРАБОТКА И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ ЧАСТИЧНО ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИКИ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ

2.1.Анализ основных фрактальных характеристик финансовых рядов

На сегодняшний день основная масса литературы, посвященной рыночной экономике, основывается на линейных моделях. Такие модели имеют ограниченную пользу, не отвечают реальному поведению рынка, не дают объяснений внезапных сильных колебаний на финансовых рынках. Можно отметить разрыв между действительными экономическими реалиями и экономическими теориями.

В последнее время все большее внимание уделяется исследованию финансовых временных рядов с точки зрения теории хаоса [6-7, 35, 76, 112, 129]. Это достаточно новая область, которая представляет собой активно развивающийся раздел математических методов экономики. Математическая теория хаоса, являющаяся одним из направлений нелинейной динамики, позволяет выявить сущность глубинных экономических процессов, часто скрытых и неявных, и разработать основу для принятия решений в таких ситуациях [31, 71, 126]. Возрастание интереса к нелинейной динамике можно связать в основном с двумя факторами – широким распространением и доступностью мощных персональных компьютеров и осознанием важности изучения динамики хаотических систем. Появление ПК вызвало к жизни экспериментальные исследования, которые оказались необходимы ввиду неполноты теоретических представлений в данной области. Обнаруженные на практике хаотические системы породили весьма важные, трудные, но интересные задачи на всех уровнях: от самых абстрактных математических до конкретных задач прикладной физики.

- 55 -

Можно выделить два основных этапа в развитии нелинейной динамики: [39, 54]:

1.Этап диссипативных структур (1950-1980-е гг.). Понятие «диссипативных структур» было введено И. Пригожиным [69], основателем современной теории сложности, нобелевским лауреатом, и относится прежде всего

кдиссипативным процессам (т.е. к процессам вязкости, диффузии, теплопроводности). Такие процессы позволяли исследуемым системам «забыть» начальные данные и сформировать с течением времени подобные стационарные структуры. Задача анализа сводилась к определению изменения и конфигурации структур при вариации внешних параметров и начальных данных.

Соответствующий математический аппарат нелинейной динамики на этом этапе определялся качественной теорией ветвлений решений дифференциальных уравнений. Эти разделы математики интенсивно разрабатывались со времен А. Пуанкаре (конца XIX века), успешно применялись в теории колебаний, (в том числе и в г. Воронеже, под руководством профессора М.А. Красносельского), что не в последнюю очередь обеспечило первые успехи синергетики.

Математическими образами эпохи стали притягивающие множества (аттракторы) в фазовом пространстве, при этом простейшим аттракторам – неподвижным точкам – соответствовали стационарные, не меняющиеся со временем структуры, а с 70-х годов XX века - более сложные структуры – аттракторы, предельные циклы – различные периодические волновые процессы.

2.Этап динамического хаоса (с начала 1980-х гг. и по настоящее время) [41, 93]. Термин «детерминированный или динамический хаос», под которым понимается непредсказуемое поведение детерминированных систем, был введен в научный обиход в 1975 г. Т.-У. Ли и Дж. Йорком. Термин «динамический» (детерминированный) означает, что отсутствуют источники случайных флуктуаций. Важным понятием данного этапа стала чувствительность к начальным условиям: экспоненциальное разбегание двух близких траекторий

- 56 -

для класса хаотических аттракторов. При этом скорость разбегания можно определить путем вычисления положительной величины наибольшего показателя Ляпунова. Вследствие этой чувствительности становится невозможным сравнить траекторию объекта и модели для одних и тех же моментов времени, так как даже малая ошибка в начальных данных будет экспоненциально нарастать, что приведет, в конечном счете, к совершенно разным траекториям. Поэтому приходится ограничиваться либо кратковременными прогнозами, либо искать адекватные способы сравнения поведения модели и объекта (например, возможно использование некоторых функционалов от траектории, определяющих количественные характеристики хаоса). К основным типам задач, которые решались на этом этапе, можно отнести задачи анализа временных рядов (в частности, нахождение горизонта прогноза), построения прогнозирующих систем, определения законов движения объекта по ограниченному ряду наблюдений.

Можно отметить, что необходимость большой выборки очень точных измерений, предшествующих состояний объекта, для алгоритмов нахождения количественных характеристик хаоса и построения прогнозирующих систем делает эти алгоритмы достаточно «капризными». Как указывается в [54] «В то же время живые существа такими данными для обучения не располагают, поэтому неясно, как им удается эффективно ориентироваться в быстро меняющейся обстановке. Таким образом, можно сказать, что возник новый класс задач, весьма сложный для разработчиков программ и легко решаемый биологическими субъектами».

Символами этой эпохи [92] стали субгарманический каскад, множества Кантора, аттрактор Хенона, система Лоренца. Заметим, что именно Э. Лоренц в 1963 г. явился одним из основоположников теории хаоса.

Можно выделить следующие причины, вызвавшие повышенный интерес на сегодняшний день к теории хаоса:

-57 -

исследование хаоса обеспечивает новые концептуальные и теоретические средства, позволяющие понять сложное поведение систем, которое не удавалось объяснить другими теориями;

хаотическое поведение универсально и проявляется в самых разных

областях, таких, например, как в механических осцилляторах, электрических цепях, химических реакциях, нервных клетках, нагреваемых жидкостях, экономических системах, в том числе, как будет показано далее, и на финансовых рынках.

Теория хаоса [19] является основным подходом к анализу так называемых маломасштабных разрывов (резких скачков), крупномасштабными разрывами занимается теория катастроф [3, 78]. Этот тип разрывов был введен Р. Томом в 1972 г. и Е. Зиманом в 1977 г. Крупномасштабные разрывы (катастрофы) происходят в определенном состоянии переменных при изменении других, управляемых переменных, которые достигают критических бифуркационных значений. В применении к экономике теорию катастроф впервые продемонстрировал Е. Зиман в задаче о крахе спекулятивных «пузырей» на финансовом рынке. Теория катастроф предложила анализ обшей структуры крупномасштабных разрывов, но подверглась критике за отсутствие моделей, позволяющих предсказать их наступление.

Оба подхода к динамике разрывов и теорию катастроф, и теорию хаоса можно рассматривать как частные случаи более широкой категории - теории бифуркаций, поскольку внезапные изменения, разные по масштабу, возникают в бифуркационных точках, где и происходят скачки на плавных хаотических траекториях. Возможным синтезом этих подходов является порядок. Такой прием предложен И. Пригожином в 1977 г. и разработчиком синергетики Г. Хакеном в 1983 г. [86]. По их мнению, оба типа разрывов являются одновременно и большими, и малыми. Последние будут возбуждать первые при колебаниях системы вблизи крупномасштабных точек бифуркации, где будут происходить катастрофы. Таким образом, хотя хаос может возникать

- 58 -

из катастроф в смысле последовательности переходных бифуркаций, катастрофы более высоких порядков могут, в свою очередь, возникать из хаоса.

При анализе хаотических явлений необходимы некоторые меры (критерии), позволяющие получить количественную оценку хаоса, сравнить теоретические и экспериментальные наблюдения, выявить отличие хаотического ряда от случайного. В задаче формирования таких критериев используются два подхода.

В первом подходе акцент делается на динамике хаотической характеристики. В рамках этого подхода применяются такие критерии, как показатель Ляпунова (мера скорости расхождения траекторий, начинающихся на соседних точках), энтропия Колмогорова (параметр, который отображает количество информации на аттракторе). Сюда же можно отнести спектральный анализ, а именно спектральную плотность мощности и автокорреляционную функцию.

Второй подход отражает геометрическую природу траекторий в пространстве состояний. Данный подход предполагает использование критериев, определяемых через фрактальную и корреляционную размерности.

Фракталы. Как указывает Петерс [67] – окончательного определения фракталов не существует. В дальнейшем под фракталом будем понимать множества, демонстрирующие на разных масштабах разрешения своей геометрической структуры, свойства подобия и соотнесенности. Термин фрактал был введен в 1975 году благодаря математику Бенуа Мандельброту [130]

– пионеру в области фрактальной геометрии. Отметим, что математические идеи в этом направлении сформировались еще в XIX веке в работах Г. Кантора, К. Бейшотрасса, Д. Пеанно и др.

Мандельброт собрал наблюдения математиков, касающиеся объектов, не определимых способами евклидовой геометрии (так называемых «монстров»), и создал геометрию вполне реальных образований в природе (береговая линия, горные массивы, облака и т.д.).

- 59 -

Можно привести целый ряд фрактальных множеств, придуманных математиками2. Это множество Кантора, снежинка Коха, салфетка Серпинского, ковер Серпинского и т.д. На примере множества Кантора рассмотрим построение этого фрактала (см. рис. 2.1): разделим единичный отрезок на три равные части и выбросим интервал, занимающий среднюю часть. Затем, каждый последующий отрезок снова делим на три части и выбрасываем среднюю треть, и так до бесконечности. То, что останется в итоге, и будет являться множеством Кантора.

Рис. 2.1. Построение классического канторова множества

В статье Рюэля и Такенса [143], опубликованной в 1971 году, был введен новый математический образ динамического хаоса - странный аттрактор. Слово "странный" подчеркивает два свойства аттрактора. Это, вопервых, необычность его геометрической структуры. Размерность странного аттрактора является дробной (фрактальной). Во-вторых, странный аттрактор - это притягивающая область для траекторий из окрестных областей. При этом все траектории внутри странного аттрактора динамически неустойчивы, что выражается в сильной (экспоненциальной) расходимости близких в начальный момент траекторий.

Для характеристики аттракторов целесообразно ввести понятие размерности. Размерность определяет количество информации, необходимое для задания координат точки, принадлежащей аттрактору, в рамках указанной точности. Существует много способов определения размерности множества.

2 Существует математический аппарат для порождения фрактальных форм [67, стр. 74], который называется итеративными функциональными системами (Iterated Function System – IFS).

- 60 -

Так, если имеется равномерно распределенное множество точек вдоль од-

ной линии N0 , можно подсчитать минимальное число кубов N(ε) с ребром

ε , необходимых для покрытия этого множества. Если число N0 велико, то число кубов, покрывающих линию будет изменяться в зависимости от ε , как

N(ε) ε1 .

Если же мы рассмотрим покрытие не отрезка линии, а области на плос-

где D выступает как размерность рассмотренных множеств и характеризует скорость роста числа ячеек покрытия данного множества при уменьшении размера ячеек.

Логарифмируя полученное соотношение и устремляя ε к 0, можно записать:

Если полученная размерность окажется нецелой (дробной), то такое множество называется фрактальным (от слова fraction – дробь), а величина D соответственно фрактальной размерностью. Фрактальная размерность, определенная с помощью покрытия множества ячейками фиксированной формы и размера, называется емкостью множества.

Утакой меры, как емкость множества, существует серьезный недостаток

–емкостная размерность – это геометрическая мера, она не учитывает частоту, с которой траектория посещает элемент покрытия. А так как странные аттракторы пространственно неоднородны, и некоторые области аттрактора посещаются чаще других, то необходима такая мера, которая каждый непустой элемент покрытия областей аттрактора в фазовом пространстве взвеши-