Лабораторный практикум / Компьютерная лаборатория / [ Монахов, Огинец ] Практикум. Колебания маятника в поле силы тяжести
.pdf-Установите маятник в положение равновесия и запустите измерения. После начала измерений отклоните маятник на достаточно большой угол и отпустите. После окончания измерений выйдите в окно просмотра фазовой диаграммы. Объясните наблюдаемую зависимость.
-Проведите измерения фазовой диаграммы при различных длинах маятника L . Объясните наблюдаемые зависимости.
-Проведите аналогичные измерения при наличии “паруса”
-Занесите результаты в отчёт
Задание 6. Измерение зависимости периода от длины подвеса
-Выберите оптимальное время измерения.
-Проведите серию измерений: найдите зависимость периода колебаний от длины маятника L
.
-Сравните ее с теоретической для математического маятника.
-Сравните экспериментальную зависимость T (L) с теоретической для физического маятника.
При этом требуется задать или подобрать параметры, соответствующие исследуемому маятнику.
-Проверьте, будет ли квадрат периода колебаний пропорционален L
-Проверьте, можно ли пренебречь массой стержня, на котором подвешен груз.
-Оцените влияние этой массы на результаты измерений.
-Зависит ли степень этого влияния от длины L ?
-Если зависит, то каким образом?
-Можно ли по наклону зависимости T 2 ( L) определить значение g ?
-Занесите параметры маятника, использовавшиеся для расчётов, и ответы на вопросы в отчёт.
Задание 7. Измерение зависимости периода колебаний от их амплитуды
-Установите длину подвеса близкой к максимальной.
-Отклоните маятник на достаточно большой угол и проведите измерение зависимости угла отклонения от времени вплоть до полного затухания колебаний. Оцените время, за которое колебания полностью затухнут, а затем установите несколько большее значение в пункт “Время измерений”.
-Отклоните маятник на тот же угол и проведите измерение зависимости угла отклонения от времени вплоть до полного затухания колебаний.
-Подберите правильное значение T0 для теоретической кривой.
-Сравните экспериментально полученную кривую с теоретической. Объясните результаты.
-Наблюдается ли при больших углах отклонение от первого приближения нелинейной теории? Если “да”, то при каких?
-Занесите результаты (значения L , максимального угла, T0, а также ваши выводы) в отчёт.
Приложение 1
Найдем выражение для периода колебаний, описываемых уравнением (8) с начальными условиями (15), в следующем порядке малости по сравнению с линейной теорией. В этом случае
(8) может быть переписано в виде
d2 Θ |
= −ω |
2 |
(Θ − |
1 |
|
Θ3 ) |
(П 1-1). |
|
dt2 |
0 |
3! |
||||||
|
|
|
|
|||||
Если член с Θ3 рассматривать как малую поправку, то решение (П 1-1) будет близко к (16). Из физических соображений очевидно, что решение будет периодично, но частота колебаний ω может несколько отличаться от ω0 . Кроме того, в решении кроме первой гармоники будут присутствовать и более высокие. Легко убедиться, что член со второй гармоникой не возникает,
21
т.к. в правой части (П 1-1) отсутствует слагаемое с Θ2 . Поэтому будет присутствовать только третья гармоника:
Θ = Θ0 cosω t + λΘ0 cos 3ω t |
(П 1-2). |
где λ - малый параметр. Фаза косинусоид выбрана в соответствии с условием ddtΘ (0) = 0 .
Подставляя (П 1-2) в (П 1-1) и приравнивая коэффициенты перед соответствующими гармониками, получаем
|
ω 2 = ω0 2 (1 − |
1 Θ0 2 ) , |
(П 1-3) |
|||||||
|
|
|
|
1 |
8 |
|
|
|
||
т.е. |
ω = ω0 |
(1 − |
|
Θ0 |
2 ) , |
(П 1-4) |
||||
16 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или, окончательно, |
T = T0 |
(1 + |
|
1 |
Θ0 |
2 ) |
(П 1-5) |
|||
|
|
|||||||||
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|||
Точное выражение для периода колебаний, описываемых уравнением (8) с начальными условиями (15) проще всего найти на основе закона сохранения энергии.
Как показано на рис.8, при отклонении маятника на угол Θ от положения равновесия он
поднимается на высоту h относительно положения равновесия: |
|
h = L − L cosΘ . |
(П 1-6) |
Положим потенциальную энергию в нижней точке траектории (при Θ = 0 ) равной нулю, тогда в произвольный момент времени движения маятника его потенциальная энергия E п = mgh ,
кинетическая: E к = mv2 / 2 , где v - скорость маятника.
В верхней точке траектории маятника он отклоняется на угол Θ0 и поднимается на высоту
h0 = L(1− cosΘ0 ) . В этой точке кинетическая энергия E к |
равна нулю, и полная энергия |
системы E равна потенциальной: |
|
E = mgL(1 − cos Θ0 ) |
(П 1-7). |
В произвольной точке траектории, на основании закона сохранения энергии:
E = E п + E к |
= mgL(1 − cosΘ) + mv2 / 2 |
(П 1-8). |
||
Приравнивая (П 1-7) и (П 1-8), получаем: |
|
|
|
|
mgL(1 − cosΘ) + mv 2 |
/ 2 = mgL(1 − cosΘ0 ) |
(П 1-9). |
||
Тогда можно выразить v через другие величины: |
|
|||
v(Θ) = |
2gL(cos Θ − cos Θ0 ) |
|
(П 1-10). |
|
За четверть периода угол отклонения маятника изменяется от Θ0 до 0. |
|
|||
Поскольку v = L dΘ / dt , можно вычислить время, необходимое маятнику для изменения угла отклонения на dL :
dt = L / v(Θ) dΘ |
(П 1-11). |
Проинтегрируем (П 1-11) за 1/4 периода:
T / 4 |
α 0 |
|
||
ò dt = ò L / |
2gL(cos Θ − cosΘ0 ) |
dΘ |
(П 1-12) |
|
00
Из (П 1-12) получаем искомую зависимость T от Θ0 :
|
|
Θ0 |
|
|
T = 4 |
L / g |
ò dΘ / |
2(cos Θ − cos Θ0 ) |
(П 1-13). |
0 |
|
|
||
22
Если угол Θ0 мал, то мал и угол Θ , и подынтегральное выражение можно разложить в ряд по малым параметрам Θ и Θ0 . После интегрирования получим то же, что в (П 1-5):
|
|
|
Θ2 |
|
(П 1-14). |
|
T = 2π L / g (1 + |
+ ...) |
|||||
0 |
||||||
|
|
|
16 |
|
|
|
Приложение 2
Рассмотрим сначала решение для первого полупериода колебаний, тогда уравнение (24) примет вид
|
d2 x = −ω 2 x − f |
||
Сделаем замену переменной, обозначив |
dt2 |
|
|
y = x − f |
/ ω 2 |
||
|
|||
Тогда (П 2-1) примет вид |
d 2 y / dt2 |
= −ω 2 y |
|
с начальными условиями |
y(0) = x0 |
− f /ω 2 |
|
|
y′(0) = 0 |
|
|
(П 2-1)
(П 2-2)
Мы уже знаем решение (П 2-2) с такими начальными условиями: y(t) = y(0) cosω t
Таким образом, для первого полупериода x(t) = (x0 − f /ω 2 ) cosω t + f /ω 2 .
Видно, что это обычная косинусоида, сдвинутая по оси ординат на f / ω 2 .Окончание первого
полупериода определяется из условия равенства нулю скорости dx / dt |
(первый после нуля |
||||
корень уравнения): |
|
/ω 2 ) ω sinω t = 0 |
|
||
− (x0 − f |
|
||||
Очевидно, что это момент времени t = T0 |
/ 2 , т.е. период колебаний при действии сил "сухого" |
||||
трения не изменяется. Координаты маятника после окончания первого полупериода |
|||||
|
x(T / 2) = −x |
0 |
+ 2 f / ω 2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Для второго полупериода уравнение (24) имеет вид |
|
|
|
||
|
d 2 x / dt2 = −ω 2 x + f |
(П 2-3) |
|||
Замена переменной |
z = x + f |
/ ω 2 |
|
|
|
приводит его к виду |
d 2 z / dt2 |
= −ω 2 z |
|
||
Значения координаты и скорости маятника в конце первого полупериода являются начальными
условиями для второго полупериода: |
z(T |
/ 2) = x(T / 2) + f /ω 2 |
|
0 |
0 |
dz / dt(T0 / 2) = 0
Решение (П 2-3) с такими условия : |
z(T) = z(T0 / 2) cos(ω(t − T0 |
/ 2)) , |
|
|||||
что дает |
x(t) = (x |
0 |
(T |
/ 2) + f |
/ ω2 ) cosω(t − T / 2) − f / ω 2 |
, |
||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
т.е. |
x(t) = (x0 |
− 3 f |
/ ω 2 )cosωt − f / ω 2 |
|
(П 2-4) |
|||
Видно, что и это косинусоида, смещенная на |
f |
/ ω 2 |
по оси ординат, но уже вниз, а не вверх, |
|||||
как было для первого полупериода. Из (П 2-4) получаем, что в конце второго полупериода маятник будет иметь координату
x(T0 ) = x0 − 4 f / ω 2 .
Литература
1.Сивухин Д.В. Общий курс физики, т.1 “Механика”. –М., Наука, 1979.-520 с.
23
2.Савельев И.В. Курс общей физики, т.1 “Механика. Молекулярная физика”. –М., Наука, 1987.- 432 с.
3.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.1 “Механика”. –М., Наука, 1988.-216 с.
Об аппаратуре и программном обеспечении
В данной работе используется блок автоматизации ЛА-2USB14 фирмы ЗАО «РУДНЕВШИЛЯЕВ» http://www.rudshel.ru (Внешнее устройство аналого-цифрового преобразования http://www.centeradc.ru/katalog/index-p01.htm ). Он предназначен для использования на промышленных предприятиях и в научных лабораториях. Его краткие характеристики:
1.АНАЛОГО-ЦИФРОВОЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ. Число аналоговых входов 32 однополюсных / 16 дифференциальных. Разрешение 12 бит. Время преобразования 2 мкс. Максимальная частота дискретизации 500 кГц. Входное сопротивление не менее 5 МОм. Защита по напряжению аналоговых входов ±15 В. Диапазоны входного напряжения ±10.0 В; ±5.0 В; ±2.5 В; ±1.0 В;±0.5 В; ±0.25 В; ±0.1 В; ±0.05 В.
2.ЦИФРО-АНАЛОГОВЫЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ. Количество каналов 2. Диапазоны выходных сигналов ±5 В. Разрешение 14 бит (0.61 мВ). Время установления 20 мкс. Сопротивление нагрузки не менее 1 кОм.
3.ЦИФРОВОЙ ПОРТ. Число линий 8 ввода / 8 вывода.
Программа управления компьютеризированной установкой написана на языке программирования BARSIC.
WWW-страница среды BARSIC: http://www.niif.spbu.ru/~monakhov/www/applicat_r.html
Обращение из BARSIC к драйверу, поставляемому с блоком автоматизации ЛА-2USB14, осуществляется через промежуточную динамическую библиотеку (DLL), написанную на языке Object PASCAL и скомпилированную в среде Delphi.
Координаты для связи:
E-mail: v.v.monahov@mail.ru
Телефон: +7-(812)-428-45-33 Монахов Вадим Валериевич, к.ф.-м.н., доцент физического факультета СПбГУ Факс: +7-(812)-428-72-40 -с пометкой: Монахову В.В.
Почтовый адрес: 198504, СПб, ул.Ульяновская, д.1, НИИ Физики, Монахову В.В.
24