2.4 Синтез логических схем на элементах комбинационного типа.

Элементы алгебры логики.

Для описания комбинационных схем (КЦУ) используется математический аппарат булевых функций – алгебра логики. Переменные х₁,х₂, …, х_n называются двоичными, если они могут принимать только значения: 0 или 1.

Функция от двоичных переменных f ( х₁,х₂,…,х_n ) называется булевой, если она, также как и ее аргумент, принимает только два значения: 0 или 1. Связи между входными и выходными сигналами в комбинационных схемах аналитически описываются булевыми функциями. Существуют различные способы задания или представления булевых функций: словесное описание функций, табличный способ (функция представляется в виде таблиц истинности), алгебраический способ, при небольшом количестве переменных – с помощью карт Карно.

От таблиц истинности можно перейти к алгебраической форме представления функций. В такой форме удобно производить различные преобразования функций, например с целью их минимизации. Основные булевы функции одной и двух переменных, их обозначение и наименование приведены в таблице 2.1, графическое изображение на рис.2.1.

Таблица 2.1. - Основные функции алгебры логики для одной и двух переменных

Функции	Аргумент Х=0 У=0	Аргумент Х=0 У=1	Аргумент Х=1 У=0	Аргумент Х=1 У=1	Обозначение функции	Наименование функции
F1(x)	0	0	0	0	0	Константа «0»
F2(x)	1	1	1	1	1	Константа «1»
F3(x)	0	0	1	1	x	Переменная «х»
F4(x)	1	1	0	0		Инверсия
F5(x.y)	0	1	1	1		Дизъюнкция ИЛИ
F6(x.y)	0	0	0	1		Конъюнкция И
F7(x.y)	0	1	1	0		Сложение по модулю 2
F8(x.y)	1	0	0	0	, ()	Стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ)
F9(x.y)	1	1	1	0	, ()	Штрих Шеффера (И-НЕ)
F10(x.y)	1	0	0	1		Равнозначность

ИЛИ И НЕ

х₁ х₁ х₁

х₂ х₂ х₂

ИЛИ-НЕ И-НЕ

х_{1 1} х_{1 &}

х₂ х₂

И-ИЛИ-НЕ

х₁ & 1

х₂

х₃ &

х₄

Рис.2.1 - Графическое обозначение ЛЭ на схемах

Основные теоремы алгебры логики

Теоремы для двух переменных и более

; (переместительный закон),

(сочетательный закон)

(распределительный закон)

; (теорема де-Моргана)

;

Если система содержит функции (конъюнкция),(дизъюнкция),(отрицание), то она является функционально полной, т.е. с помощью данного набора логических функций можно реализовать функции алгебры логики любого вида.

Однако из этой системы можно исключить некоторые функции без нарушения функциональной полноты. Функционально полной будет также система, состоящая из одной единственной булевой функции «штрих Шеффера» -. В этой системе инверсию, дизъюнкцию, конъюнкцию получают, используя законы и теоремы алгебры логики:

Реализация логических элементов с помощью элементов И-НЕ «штрих Шеффера» показана на рис.2.2.