1.4 Класифікація крайових задач

Якщо відома математична модель процесу теплопровідності, необхідно з'ясувати, які величини і залежності, що входять в опис, нам відомі, а які необхідно визначити. Залежно від цього виникаючі завдання можна розділити на два види:

Пряма задача. Визначити температурне поле, якщо відоме диференціальне рівняння процесу і задані додаткові умови, що повністю визначають крайове завдання.

Зворотна задача. Визначити граничні умови або коефіцієнти, що входять в основне диференціальне рівняння, якщо відомі математичний опис процесу і температурне поле.

Крім того, крайові задачі можна підрозділити на лінійні і нелінійні. Рівняння називається лінійним, якщо воно лінійне відносно невідомої функції (температури) і її похідних.

Якщо в математичному описі задачі хоч одне рівняння нелінійне, то і крайова задача нелінійна. Залежно від того, в якому рівнянні і в якому членові рівняння зосереджена нелінійність, нелінійні крайові задачі можна класифікувати таким чином:

1. крайові задачі з нелінійністю I роду – від температури залежать теплопровідність λ(Т), теплоємність С(Т) і щільність ρ(Т);

2. крайові задачі з нелінійністю II роду – від температури нелінійно залежить щільність теплового потоку на поверхні тіла q(T_S);

3. крайові задачі з нелінійністю III роду – від температури нелінійно залежить об'ємна щільність теплового потоку q_v.

1.5 Класифікація методів вирішення крайових задач

Існуючі методи вирішення крайових задач можна класифікувати по різних ознаках. Один з них – форма, в якій виходять результати рішень. Рішення задачі може бути представлене у вигляді формули, яка дозволяє по заданому значенню аргументу знайти значення шуканої функції. В цьому випадку говорять, що рішення отримане в аналітичній формі.

За допомогою чисельних методів рішення може бути представлене числовими значеннями функції в деяких заданих числових значеннях аргументу.

Часто для аналізу аналітичного рішення на деякому етапі необхідне вживання чисельних методів, тобто в цьому випадку можна говорити про синтез аналітичних і чисельних методів.

Аналітичні методи дозволяють отримати наочніші рішення в порівнянні з чисельними методами, по яких легко проаналізувати вплив всіх чинників на результати рішень.

Використання чисельних методів дає можливість вирішувати складні крайові задачі, недоступні для вирішення аналітичними методами. Проте це не зменшує ролі аналітичних методів вирішення крайових завдань теплопровідності, особливо в тих випадках, коли аналітичне рішення може бути отримане дешевше, точніше і швидше, ніж чисельне.

Важливим критерієм для аналітичних методів є можливість вирішення нелінійних крайових задач. Якщо метод розроблений для вирішення нелінійних задач, то він застосовний і для вирішення лінійних задач, зворотне ж часто неможливе.

Для вирішення лінійних задач теорії теплопровідності застосовують:

I. Класичні методи: 1) метод розділення змінних (метод Фур'є); 2) метод функцій джерел (функцій Гріна); 3) метод теплових потенціалів.

II. Методи інтегральних перетворень: 1) у безконечних межах; 2) у кінцевих межах.

При цьому ядра інтегральних перетворень вибираються різними залежно від форми тіла і граничних умов.

Для вирішення нелінійних крайових задач теорії теплопровідності застосовують:

III. Варіаційні методи: 1) Рітца; 2) Канторовіча; 3) Треффтца; 4) Лейбензона; 5) Біо.

IV. Методи лінеаризації (зведення нелінійної крайової задачі до лінійної): 1) методи підстановок; 2) прийоми лінеаризації; 3) методи, послідовних наближень.

V. Проекційні методи: 1) колокацій; 2) Бубнова–Галеркина; 3) моментів; 4) інтегральні методи (інтегрального теплового балансу і усереднювання функціональних поправок).

VI. Методи зведення крайових задач до рівнянь і завдань інших типів: 1) приведення крайової задачі з нелінійними граничними умовами до еквівалентного нелінійного функціонального рівняння; 2) приведення крайової задачі з коефіцієнтами перенесення, залежними від температури, до нелінійного інтегрального рівняння; 3) приведення крайової задачі теплопровідності до крайової задачі для звичайного диференціального рівняння.

Слід відразу обмовитися, що приведена класифікація аналітичних методів є вельми умовною, оскільки багато методів можна віднести не до однієї групи методів, а до декількох. Природно, що існує цілий ряд методів, які не попали в дану класифікацію.

Застосовуючи аналітичні методи, можна отримати точні або наближені вирішення крайових задач.

В той же час чисельні методи завжди наводять до наближеного рішення, оскільки вони засновані на заміні безперервній математичній моделі процесу наближеною дискретною моделлю.

Для вирішення крайових задач теплопровідності застосовують такі чисельні методи: 1) метод кінцевих різниць (метод сіток); 2) варіаційно-різницеві методи; 3) метод прямих; 4) статистичні (імовірнісні) методи.

Найбільше вживання в теорії теплопровідності через свою універсальність отримав метод кінцевих різниць.

З імовірнісних методів в теорії теплопровідності найчастіше використовується метод Монте-Карло. Використання цього методу може виявитися ефективним, якщо необхідно визначити значення температури лише в одній або декількох характерних точках області. Реалізація чисельних методів здійснюється за допомогою ПК.