§ 3. Неоднородные линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами

1. Решение неоднородных линейных рекуррентных соотношений. Последовательностьназываетсянеоднородной линейной рекуррентной последовательностью порядка,если существуют натуральное число, числа () и функциятакие, что

, (2.3.1)

При этом каждое из чисел может быть как действительным, так и комплексным. Рекуррентное соотношение (2.3.1) называетсянеоднородным линейным рекуррентным соотношением порядка k.

Рекуррентное соотношение

. (2.3.2)

называется однородным линейным рекуррентным соотношением, ассоциированным с соотношением (2.3.1).

Отыскание общего решения неоднородного линейного рекуррентного соотношения основано на теоремах.

Теорема 2.3.1. Сумма любого решения неоднородного линейного рекуррентного соотношения (2.3.1) и любого решения ассоциированного с ним однородного рекуррентного соотношения (2.3.2) есть решение неоднородного соотношения (2.3.1).

Доказательство. Пусть – решения неоднородного соотношения (2.3.1), а– решение ассоциированного с ним однородного соотношения (2.3.2). Тогда

,

.

Складывая эти равенства по частям, будем иметь

.

Из этого равенства следует, что функция является решением соотношения (2.3.1). ■

Теорема 2.3.2. Разность любых двух решений неоднородного линейного рекуррентного соотношения (2.3.1) есть решение ассоциированного с ним однородного рекуррентного соотношения (2.3.2).

Из этих теорем вытекает

Теорема 2.3.3. Общее решение неоднородного линейного рекуррентного соотношения (2.3.1) есть сумма любого частного решения данного неоднородного соотношения и общего решения ассоциированного с ним однородного рекуррентного соотношения (2.3.2).

Иными словами, если – некоторое частное решение неоднородного линейного рекуррентного соотношения (2.3.1), а– общее решение ассоциированного с ним однородного соотношения (2.3.2), то

– общее решение неоднородного линейного рекуррентного соотношения (2.3.1). ■

Отыскание частных решений неоднородного линейного рекуррентного соотношения является в общем случае достаточно сложной задачей. Однако для некоторых видов свободного члена имеются специальные приемы. Познакомимся с некоторыми из них.

1º.Пусть. Возможны следующие случаи:

а) Число не является корнем характеристического уравнения . Подставляяв уравнение (2.3.1), получим

.

Отсюда , значит, искомое частное решение имеет вид

.

б) Число является простым корнем характеристического уравнения. Подстановкав уравнение (2.3.1) дает

.

Отсюда

. Из этого равенства, учитывая , получим

.

Следовательно, , поэтому

при .

в) Число являетсяr-кратным корнем характеристического уравнения . В этом случае частное решение находится аналогичным образом в виде.

2º. Пусть – многочленстепениот переменной. Возможны следующие случаи:

а) Число 1 не является корнем характеристического уравнения. Тогда . Частное решение находится в виде . Подстановка многочленов, …,в уравнение (2.3.1) дает

,

т.е.

,

Выполнив в левой части этого соотношения возведение в степень и приведение подобных членов, получим многочлен от степени, старший член которого . Значения …,, определяющие искомое частное решение, можно найти из соотношений, которые получаются при сравнении коэффициентов многочленов, стоящих в левой и правой частях последнего равенства.

б) Число 1 является корнем характеристического уравнения и поэтому . Частное решение аналогичным способом находится в виде , где– кратность корня.

3º. Если ,– частные решения линейных неоднородных рекуррентных соотношений

,

соответственно, то – частное решение рекуррентного соотношения

.

Задача 3.1. Найти общее решение неоднородного линейного рекуррентного соотношения второго порядка:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Решение. Все заданные неоднородные рекуррентные соотношения имеют одно и тоже ассоциированное с ними однородное рекуррентное соотношение . Его характеристическое уравнениеилиобладает корнямии. Значит, общее решение ассоциированного соотношения

.

Для каждого из данных неоднородных соотношений найдем его частное решение и запишем общее решение.

а) Коэффициент , где 3 не является решением характеристического уравнения, поэтому частное решение находится в виде. Так как,, имеем. Отсюдаи. Таким образом, в качестве частного решения можно взять, тогда общее решение неоднородного соотношения имеет вид.

б) Характеристическое уравнение не имеет комплексных корней, поэтому будем искать частное решение в виде . Имеем

или

.

Используя формулы приведения, получим

или

.

Полученное равенство должно тождественно выполняться при всех . Приисоответственно имеем

,.

Откуда ,. Таким образом, общее решение неоднородного соотношения выглядит так

.

в) Поскольку 2 – корень характеристического уравнения, частное решение неоднородного соотношения можно представить в виде . Тогда

.

Отсюда , т.е..

Общее решение рассматриваемого неоднородного линейного рекуррентного соотношения можно записать так

.

г) Коэффициент является многочленомот, 1 не является корнем характеристического многочлена. Частное решение ищется в виде. Имеем

или

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим ,,. Общее решение неоднородного соотношения

.

д) Общее решение получаем из решений пунктов а) и в)

.

Задача 3.2. Найти общее решение неоднородного линейного рекуррентного соотношения:

а) ;

б) .

Решение. Оба неоднородных рекуррентных соотношения имеют ассоциированное с ними однородное соотношение

.

Его характеристическое уравнение

или имеет два двукратных корняи. Поэтому общее решение этого однородного соотношения.

Найдем частные решения неоднородных соотношений.

а) Свободный член ; т.к. 2 – двукратный корень характеристического уравнения, искомое частное решение имеет вид. Подставляя эту функцию в рекуррентное соотношение, найдем соответствующее значение. Имеем:

.

Отсюда

,

и, значит, . Поэтому, и общее решение данного неоднородного рекуррентного соотношения запишется так

.

б) В этом соотношении свободный член – многочлен от, а число 1 является двукратным корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение ищется в виде. Подстановкав соотношение дает

или . Отсюда,. Общее решение данного неоднородного рекуррентного соотношения

.

2. Неоднородные рекуррентные соотношения и суммирование. Рассмотрим использование неоднородных линейных рекуррентных соотношений при вычислении конечных сумм.

Задача 3.3. Вычислить суммы:

а) ;

б) ;

в) .

Решение. Нетрудно заметить, что искомые суммы являются решениями неоднородных линейных рекуррентных соотношений(сравните с соотношением, полученным в задаче 1.1 этой главы),исоответственно, где. Ассоциированное с ними однородное рекуррентное соотношение имеет характеристическое уравнение; его корень. Поэтому его общее решение.

а) Частное решение неоднородного соотношения имеет вид . Подставляя его в рекуррентное соотношение, после преобразований получим:

.

Откуда ,,,. Таким образом, общее решение неоднородного соотношения –

.

Так как , тои искомая сумма.

б) Здесь частное решение , поэтому общее имеет вид.

в) Число 3 не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение ищется в виде . Подставим его в рекуррентное соотношение:. Отсюда, и значит, общее решение неоднородного рекуррентного соотношения запишется так. Поскольку, тои. Искомая сумма. Этот же результат можно получить с помощью формулы для вычисления суммы членов геометрической прогрессии (первый член и знаменатель прогрессии равны 3).

Эта задача была опубликована в 1202 г. в сочинении «Liber Abacci» («Книга об абаке») знаменитого итальянского математика Леонардо Пизанского, больше известного по прозвищу Фибоначчи (сын Боначчи).

Термин «рекуррентность» ввел английский математик А.Муавр (1667-1754).

Следует иметь в виду, что в математической литературе часто возвратными последовательностями называют только последовательности, удовлетворяющие линейным рекуррентным соотношениям.