11.2. Критерии планарности графа.

Были найдены несколько критериев планарности графов, которые сформулируем ниже. Но сначала введем некоторые утверждения и понятие «гомеоморфизм графов».

Теорема 11.2.Полный двудольный графK_3,3не является планарным.

Доказательство.

Используем метод «от противного» и предположим, что граф K_3,3– планарный.

Если K_3,3планарный граф, и поскольку имеется девять ребер и шесть вершин, то. Поэтому.

Пусть AиB– непересекающиеся трехэлементные множества вершин, формирующие множествоVвершин графаK_3,3. Если начать путь из одного из непересекающихся множеств, например,A, и не повторять ребра, то можно попасть в вершину из множестваB, вернуться в вершину из множестваA, вернуться в вершину из множестваBи, наконец, вернуться в вершину множестваA, прежде чем завершить цикл. Каждый цикл вK_3,3представляет собой путь, длина которого, по крайней мере, равна 4. Поэтому каждая грань определена циклом, в котором не менее четырех ребер. Следовательно, сумма ребер всех граней больше, чем. Но каждое ребро подсчитывается не более двух раз, поскольку оно может служить границей только двух граней. Значит, сумма ребер граней должна быть меньше, чем. Объединяя эти неравенства, получаем,. Поэтому. Но это противоречит тому, что.

Следовательно, мы пришли к противоречию, и граф K_3,3не является планарным.

■

Следующую лемму примем без доказательства.

Лемма 11.3.В произвольном связном планарном графеGс количеством вершин не менее трех имеет место неравенство.

Теорема 11.4.Полный графK₅не является планарным.

Доказательство.

Граф K₅имеет пять вершин и десять ребер,.Поэтому, согласно лемме 11.3., графK₅не является планарным.

■

Если граф G(V,E) содержит реброe=(v_i,v_j) и графG(V, E)получен из графаG(V,E) добавлением новой вершиныvв множествоVи заменой ребра (v_i,v_j) ребрамии, то графG(V, E)называетсярасширениемграфаG(V,E). Если графытаковы, чтоявляется расширением графа, то графназываетсяпроизводнымот графа.

Если граф G(V, E)– расширение графаG(V,E), то посередине одного из ребер появляется вершина, а исходное ребро делится на два новых ребра, которые соединяют вершины, инцидентные исходному ребру, и новую вершину.

Определение 11.3.Графыиназываютсягомеоморфными, если существует графGтакой, что оба графа,и, являются производными от графаG.

Пример 1.4.Граф, который изображен слева, является расширением графа, изображенного справа.



Пример 1.5.Граф, который изображен слева, является производным от графа, изображенного справа.



Рассмотрим следующие критерии планарности графа в качестве теорем без доказательства.

Теорема 11.5.Каждый планарный граф содержит вершину степени 5 или менее.

Теорема 11.6.Если два связных графа гомеоморфные, то они либо оба планарные, либо оба не планарные.

Теорема 11.7.(теорема Понтрягина – Куратовского)

Граф является планарным тогда и только тогда, когда он не содержит подграф, гомеоморфный K_3,3илиK₅.