pri_cod2

В общем случае при использовании матрицы Адамара порядка n дисперсия ошибок взвешивания уменьшается в n раз.

4.4Метод Пейли построения матриц Адамара

Мак-Вильямс, стр 53, КТИИ, стр 112. Пусть p простое число. Элемент a 2 Zp называется квадратичным вычетом, если уравнение x2 = a имеет решение в Zp и называется квадратичным невычетом в противном случае. Число 0 не является ни квадратичным вычетом, ни квадратичным невычетом.

Для получения всех квадратичных вычетов достаточно отметить в Zp элементы 12, 22, : : :, ³p¡2 1´2. Например, по модулю 13 квадратичными вычетами являются элементы 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 42 = 16 ´ 3 (mod 13), 52 = 25 ´ 12 (mod 13) и 62 = 36 ´ 10 (mod 13). Остальные элементы

квадратичные невычеты.

Свойства квадратичных вычетов.

1.Произведение двух квадратичных вычетов является квадратичным вычетом.

Произведение двух квадратичного вычета и квадратичного невычета является квадратичным невычетом.

Произведение двух квадратичных невычетов является квадратичным вычетом.

2.Если p = 4k + 1, то число (¡1) является квадратичным вычетом. Если же p = 4k + 3, то число (¡1) квадратичным невычет.

Пусть p простое нечетное число. Функцией Лежандра называется функция »(x), определенная на множестве всех целых чисел следующим образом:

71

5Мажоритарные коды

Определение. Мажоритарной функцией (от l ¸ 2 аргументов) называется функция Maj(x1; x2; : : : ; xl), значение которой равно a в том случае, когда более половины аргументов приняли значение a. В противном случае значение этой фукнции не определено.

Например, Maj(1; 2; 3; 2; 3; 5; 2; 2; 6; 2; 2) = 2, а величина Maj(1; 2; 3; 1; 2; 3; 3; 2; 1) не определена.

Мажоритарная функция может использоваться при поиске и исправлении ошибок.

Пример. [КТТИ, стр. 179-180] Пусть C линейный (7; 3)-код с проверочной матрицей

Пусть по каналу связи отправлен кодовый вектор u, а на выходе получен вектор v = u + e, где e = (e0; e1; : : : ; e6) вектор ошибок. Тогда синдром s = (s0; s1; s2; s3) = Hvt вектора v совпадает с вектором Het. Поэтому компоненты

Эти суммы можно найти, зная вектор v, поскольку справедливы равенства

72

Предложение 20 Если произошло не более одной ошибки, то компоненту e0 вектора ошибок можно найти по формуле

Последнюю формулу можно записать в таком виде:

Найти остальные компоненты можно следующим образом. Рассматриваемый код является циклическим (проверьте это!).

Поэтому к его проверочной матрице можно приписать снизу матрицу

строки которой получаются циклическим сдвигом вправо строк матрицы H. Поэтому можно говорить о компонентах s4, s5 и s6 вектора v. Из формулы

(4) теперь получаем

где индексы вычисляются по модулю 7.