pri_cod2

Пусть u(x) 2 M(p; n). Предложение 3 позволяет выяснить является ли u(x) кодовым многочленом. Однако удобнее использовать следующий критерий:

Предложение 12 Пусть u(x) 2 M(p; n). Тогда u(x) 2 C(x) тогда и только тогда, когда верно сравнение

u(x)h(x) ´ 0 (mod p; xn ¡ 1):

Доказательство. Пусть u(x) 2 C(x). Тогда найдется многочлен '(x), для которого выполнено сравнение (3). Умножая обе части этого сравнения на h(x), получим

u(x)h(x) ´ (g(x)'(x)) h(x) = (g(x)h(x)) '(x) ´ ´ (xn ¡ 1) ¢ '(x) ´ 0 ¢ '(x) ´ 0 (mod p; xn ¡ 1):

Пусть теперь u(x)h(x) ´ 0 (mod p; xn ¡ 1). Тогда найдется многочлен Ã(x) с коэффициентами из Zp, для которого u(x)h(x) ´ (xn ¡ 1) ¢ Ã(x) (mod p). Так как xn ¡ 1 ´ g(x)h(x) (mod p), после сокращения на h(x) получаем u(x) ´ g(x) ¢ Ã(x) (mod p), откуда u(x) 2 C(x).

Пример 5. Пусть p = 2, n = 3, g(x) = x + 1 и h(x) = x2 + x + 1. Тогда g(x)h(x) = x3 + 2x2 + 2x + 1 ´ x3 ¡ 1 (mod 2). Поэтому g(x) и h(x)

можно принять соответственно за порождающий и проверочный многочлен циклического кода, который обозначим C(x). Пусть u(x) 2 C(x). Тогда u(x) можно записать в виде u(x) = ax2 + bx + c, где a; b; c 2 Z2 = f0; 1g. По предложению 5

u(x) 2 C(x) () (ax2 + bx + c)(x2 + x + 1) ´ 0(mod 2; x3 ¡ 1):

Раскрывая скобки и заменяя x3 на 1 и x4 на x, получим:

u(x) 2 C(x) () a + b + c ´ 0 (mod 2):

Теперь легко заключить, что C(x) = f0; x + 1; x2 + x; x2 + 1g. В векторном представлении C = f000; 011; 110; 101g.

Отметим, что справедливо

51

Предложение 13 Если вместе с каждым кодовым словом линейный код содержит слово, полученное циклическим сдвигом, то код циклический.

3.6Кодирование и декодирование

Пусть задан циклический код C(x), построенный по простому числу p, целому числу n ¸ 2 и многочленам g(x) и h(x), удовлетворяющих сравнению (2). Тогда n является длиной кодовых слов, а степень r = deg g(x) порождающего многочлена g(x) числом информационных разрядов в кодовом слове. Пусть кодируемое сообщение является последовательностью, составленной из элементов поля Zp = f0; 1; : : : ; p ¡1g. Эту последовательность разбивают (слева направо) на блоки длины k. Последний блок может быть неполным (и в этом случае его дополняют нулями до полного блока).

Пусть a = (a0; a1; : : : ; ak¡1) очередной блок длины k кодируемого сообщения. Этому блоку сопоставляют многочен a(x) = a0xk¡1 + a1xk¡2+ + : : : + ak¡2x + ak¡1. Далее возможны два основных способа построения кодового многочлена u(x), соответствующего блоку a.

Способ 1. u(x) вычисляют по формуле

Способ 2. u(x) вычисляют по формуле

где r(x) остаток при делении многочлена a(x)xr на g(x) (действия с коэффициентами производят по модулю p). При втором способе кодирования первые k коэффициентов многочлена u(x) информационные, остальные r проверочные. При первом же способе любой разряд является отчасти информационным и отчасти проверочным (в отношении k : r).

Коэффициенты многочлена u(x) и передают по каналу связи. Если при передаче не было ошибок, то a(x) можно найти по многочлену u(x) следующим образом:

52

Пример 7. Рассмотрим бинарный циклический код из примера 6. Пусть требуется закодировать сообщение a = (1; 1; 1; 0). Этому сообщению соответствует многочлен a(x) = x3 + x2 + x, который кодируется многочленом u(x) = a(x) g(x) = x6 + x2 + x (mod 2) (по первому способу кодирования).

Предположим, что при передаче по каналу связи произошли две ошибки изменилиcь коэффициент при x2 и свободный член, то есть многочлен ошибок e(x) равен x2 + 1. Тогда на выходе из канала связи будет получен многочлен v(x) = u(x) + e(x) = x6 + x + 1. При поиске ошибок вычисляем произведение

v(x) h(x) = x10 + x9 + x8 + x6 + x5 + x2 + x + 1 (mod 2):

По модулю многочлена x7¡1 верно x7 = 1, поэтому синдром w(x) многочлена v(x) это многочлен

w(x) = v(x) h(x) ´ x6 + x5 + x3 + 1 (mod 2; x7 ¡ 1):

Вычислив частное wh((xx)), получим многочлен x2 + 1, который совпадает с многочленом ошибок e(x). Теперь легко найти u(x) = v(x) ¡ e(x).

Замечание. Пусть дл кода из примера 7 многочлен ошибок равен x6. Проделав аналогичные выкладки, получим w(x) = x6 + x3 + x2 + x, откуда = x2 + x. Поэтому многочлен ошибок будет найден неверно. Это связано с тем, что многочлен '(x) в данном случае отличен от нулевого. Таким образом, рассмотренные методы исправления ошибок могут приводить к неверным результатам. Для гарантированного исправления ошибок надо использовать специальные коды. Ниже будут рассмотренные некоторые из таких кодов.

3.8Порождающая и проверочная матрицы

Пусть p простое число. Рассмотрим типичный случай пусть порождающий многочлен g(x) p-ичного циклического кода C(x) ½ M(p; 7) имеет вид

g(x) = g0x4 + g1x3 + g2x2 + g3x + g4;

54

а его проверочный многочлен

h(x) = h0x3 + h1x2 + h2x + h3:

Таким образом, r = 4 и k = 3. Следовательно, длина кодовых слов n = k + r = 7. Кодируемые сообщения имеют вид a = (a0; a1; a2). Указанному сообщению соответствует многочлен a(x) = a0x2 +a1x+a2. Код C(x) состоит из кодовых многочленов вида a(x)g(x). Так как степень a(x) не больше 2, легко проверить, что многочлены g(x), xg(x) и x2g(x) образуют базис подпространства C(x) векторного пространства M(p; 7). Поэтому за порождающую матрицу кода C(x) можно принять

Пусть u(x) = u0x6 +u1x5 +u2x4 +u3x3 +u4x2 +u5x+u6 произвольный многочлен из кольца M(2; 7). Тогда

u(x) 2 C(x) () h(x) u(x) ´ 0 (mod 2; x7 ¡ 1):

Следовательно, если u(x) 2 C, то все коэффициенты произведения h(x) u(x) равны нулю по модулю многочлена x7 ¡ 1. В частности, равны нулю коэффициенты при x6, x5, x4 и x3, то есть выполнены равенства

В матричном виде это можно записать так: Hut = 0, где

Пусть C0 пространство решений системы (6) однородных линейных уравнений. Так как число неизвестных равно 7, а ранг матрицы системы

55

равен 4, заключаем, что размерность пространства C0 равна 7 ¡ 4 = 3. Пусть C ½ V7(Zp) векторное представление циклического кода C(x). Тогда размерность C равна степени проверочного многочлена h(x), то есть 3. Поэтому размерности C и C0 равны. По построению C ½ C0. Поэтому C = C0. Следовательно, H можно принять за проверочную матрицу кода C.

Пример 8. Рассмотрим произведение многочленов g(x) = x2 + 3x + 1 и h(x) = x3 + 2x2 + 3x + 4:

g(x)h(x) = x5 + 5x4 + 10x3 + 15x2 + 15x + 4:

Это произведение сравнимо с многочленом x5 ¡ 1 по модулю 5, поэтому g(x) можно принять за порождающий многочлен пятеричного циклического кода, а h(x) за его проверочный многочлен. Число информационных символов k = deg h(x) = 3, число проверочных символов r = deg g(x) = 2, длина кодовых слов n = k + r = 5. Порождающая и проверочная матрицы этого кода таковы:

3.9Один из алгоритмов поиска ошибок

Весом w(u(x)) многочлена u(x) называют число его отличных от нуля коэффициентов. Например, многочлены 2x3 ¡5x+7 и x11 ¡1 имеют, соответственно, веса 3 и 2. Вес многочлена равен нулю тогда и только тогда, когда этот многочлен нулевой.

Пусть C(x) циклический код. Его кодовым расстоянием d(C(x)) называют минимум весов ненулевых кодовых многочленов:

d(C(x)) = minfw(u(x)) : u(x) 2 C(x); u(x) ненулевой многочленg:

Кодовое расстояние циклического кода часто называют также минимальным расстоянием.

56

Пусть C(x) циклический код с порождающим многочленом g(x) и длиной n кодовых слов. Пусть по каналу связи передавался многочлен u(x) и на него наложился многочлен ошибок e(x). Тогда на выходе будет получен многочлен v(x) = u(x) + e(x).

Предложение 14 Пусть d(C(x)) ¸ 2t + 1 и вес многочлена ошибок e(x) не больше t. Пусть при некотором i ¸ 0 вес остатка r(x) при делении xiv(x) на g(x) не больше t. Тогда e(x) ´ xn¡ir(x) (mod xn ¡ 1).

Доказательство. По условию справедливы сравнения

v(x) = u(x) + e(x) ´ 0 + e(x) = e(x) (mod g(x))

и

r(x) ´ xiv(x) (mod g(x)):

Пусть e0(x) остаток при делении xn¡ir(x) на xn ¡ 1. Тогда e0(x) ´ xn¡ir(x) (mod xn ¡ 1):

Так как многочлен xn ¡ 1 делится на g(x), из последнего сравнения получаем

e0(x) ´ xn¡ir(x) (mod g(x)):

Положим f(x) = xi[e(x) ¡ e0(x)]. По модулю многочлена g(x) имеем:

f(x) = xie(x) ¡ xie0(x) ´ xiv(x) ¡ xixn¡ir(x) ´ r(x) ¡ r(x) = 0:

Поэтому f(x) кодовый многочлен. Но тогда и xn¡if(x) = e(x) ¡ e0(x) является кодовым многочленом. При этом его вес не больше суммы весов e(x) и e0(x), то есть не больше 2t. Так как d(C(x)) ¸ 2t + 1, получаем, что e(x)¡e0(x) нулевой многочлен. Теперь заключение предложения очевидно.

3.10Циклический код, исправляющий 1 или 2 ошибки

Пусть C(x) бинарный циклический код с порождающим многочленом g(x) = x8 + x7 + x6 + x4 + 1 и проверочным многочленом h(x) = x7 + x6+ +x4 + 1. Тогда число информационных символов k = deg h(x) = 7, число

57

проверочных символов r = deg g(x) = 8, длина кодовых слов n = k + r = 15. Можно показать, что кодовое расстояние d(C(x)) = 5, поэтому код может исправлять до 2 ошибок.

Пусть кодируемое сообщение a = (1; 0; 1; 1; 0; 1; 0). Этому сообщению сопоставляется многочлен a(x) = x6 + x4 + x3 + x. Применяя первый способ кодирования, вычисляем многочлен

u(x) = g(x) a(x) = x14 + x13 + x10 + x6 + x5 + x4 + x3 + x:

Пусть многочлен ошибок e(x) = x10+x2. Тогда получателю придет многочлен

v(x) = u(x) + e(x) = x14 + x13 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x:

Разделив с остатком v(x) на g(x), получим остаток r(x) = x7 + x6 + x5 + x. Теперь подбираем i, удовлетворяющее посылке предложения 8:

При i = 5 получили многочлен r0(x) = x7 + 1 веса, не большего 2. Остается вычислить

e0(x) = xn¡ir0(x) = x15¡5(x7 + 1) = x17 + x10 ´ x10 + x2 (mod x15 ¡ 1);

что совпадает с многочленом ошибок.

При построении таблицы полезно использовать тот факт, что по модулю многочлена g(x) и (одновременно) по модулю 2 справедливо тождество x8 = x7 + x6 + x4 + 1.

58

3.11Геометрические алгоритмы поиска ошибок

Рассмотрим бинарный циклический код C(x) с длиной кодовых слов n, числом информационных разрядов k и порождающим многочленом g(x). Пусть по каналу связи передавался кодовый многочлен u(x), а на выходе из канала получен многочлен v(x) = u(x) + e(x), где e(x) многочлен ошибок. В [КТТИ, стр. 152] формулируется (без доказательства) следующее предложение:

Предложение 15 Пусть вес t многочлена ошибок e(x) удовлетворяет неравенству t < nk и d(C(x)) ¸ 2t + 1. Тогда все t ошибок можно обнаружить и исправить.

Доказательство. Рассмотрим типичный случай t = 3. В этом случае e(x) можно записать в виде e(x) = xk1 + xk2 + xk3, где 0 · k1 < k2 < k3 < n.

Учитывая предложение 8, достаточно убедиться, что существует такое i, 0 · i < n, для которого вес остатка r(x) при делении xiv(x) на g(x) не больше t. Проверим это.

Так как u(x) кодовый многочлен, найдется многочлен '(x) с коэффициентами из Z2 = f0; 1g, для которого u(x) = g(x)'(x). Поэтому v(x) = = u(x) + e(x) ´ 0 + e(x) = e(x) (mod g(x)), и, следовательно, многочлен r(x) равен остатку при делении xie(x) на g(x).

Рассмотрим правильный n-угольник M. Перенумеруем его вершины числами 0, 1, 2, : : :, n ¡ 1 (в том порядке, в котором вершины встречаются при обходе границы n-угольника M против часовой стрелки). Пусть T треугольник, вершины которого являются вершинами n-угольника M и имеют номера k1, k2 и k3. Вершины n-угольника M, не являющиеся вершинами треугольника, будем называть свободными. Пусть также P1 множество вершин n-угольника M с номерами 0, 1, 2, : : :, n ¡ k ¡ 1, а P2 множество остальных вершин n-угольника M.

Умножение e(x) на x соответствует вращению треугольника T на угол ® = 2n¼ (против часовой стрелки) вокруг центра O n-угольника M. Поэтому

59

треугольник Ti, соответствующий многочлену xie(x), получается из треугольника T путем вращения на угол i ¢ ®.

Так как k число информационных разрядов кода C(x), справедливо равенство deg g(x) = n ¡ k. Если при каком-то i все вершины треугольника Ti попадают во множество P1, то степень многочлена xie(x) меньше n ¡ k, поэтому его остаток при делении на g(x) совпадает с xie(x) и, следовательно, имеет вес, равный t = 3. Поэтому достаточно убедиться, что треугольник T можно повернуть на такой угол i ¢ ® вокруг точки O, что ни одна вершина треугольника полученного в результате вращения треугольника Ti не попадет во множество P2. Проверим это.

Ясно, что число вершин во множестве P2 равно k. Поэтому достаточно убедиться в том, что между какими-то вершинами треугольника T находится не менее k вершин n-угольника M. Проверим это.

Вершины треугольника T разбивают границу n-угольника M на три ломаных L1, L2 и L3. Пусть на этих ломаных располагается ¾1, ¾2 и ¾3 свободных вершин n-угольника соответственно. Общее число свободных вершин n-угольника M равно n¡3, поэтому ¾1 +¾2 +¾3 = n¡3. Из неравенства

t < nk при t = 3 получаем n > 3k. Допустим, что ¾j · k ¡ 1 при j = 1; 2; 3. Тогда n = ¾1 + ¾2 + ¾3 + 3 · 3(k ¡ 1) + 3 = 3k. Противоречие с неравенством

n > 3k показывает, что ¾j ¸ k при некотором j. Теперь остается повернуть треугольник T на такой угол ® ¢i, что все вершины из множества P2 попадут на образ той ломаной Lj, на которой располагается ¾j свободных вершин n угольника. Предложение доказано.

Предложение 9 применимо только к кодам с низкой скоростью передачи (напомним, что скорость передачи R равна отношению nk ) Например, при t = 3 информационные разряды должны составлять менее трети общего числа рарядов кодового слова. Однако использованный при доказательстве предложения метод позволяет строить коды с высокой корректирующей способностью и большой скоростью передачи. Рассмотрим один из таких кодов. Этот код позволяет обнаруживать и исправлять до 3 ошибок в кодовом слове.

60