Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

диплом киры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.05.2015

Размер:

1.4 Mб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ

«Допустить к защите»

_____________________

Заведующий кафедрой МАТФ д.ф.-м.н., доцент

Клячин Алексей Александрович

«__» ______________ 2012 г.

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

по направлению подготовки бакалавров «Математика»

«ОБОБЩЕНОЕ РЕШЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА НА МОДЕЛЬНЫХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ»

Выполнил: студент гр. Мб-081

Пучков Кирилл Андреевич

______________________________

Научный руководитель д.ф.-м.н., профессор:

Лосев Александр Георгиевич

______________________________

Волгоград, 2012

Содержание

1.	Введение		3
2.	Вспомогательные утверждения
	2.1	Оператор Бельтрами-Лапласа на сферически симметричном многообразие	3
	2.2	Спектральное уравнение	5
	2.3	Ограниченные решения дифференциального уравнения второго порядка в
	нормальной форме		6
3.	Ограниченные решения Гельмгольца на сферически симметричном многообразие 6
4.	Заключение		11
5.	Литература		11

1.Введение

Вданной работе изучается поведение ограниченных решений уравнения Гельмгольца

на некомпактных римановых многообразиях некоторого специального вида. В разделе 2.1 мы рассмотрим вид оператора Бельтрами-Лапласа на сферически симметричном многообразии, затем в пункте 2.2 получим так называемое спектральное уравнение и приведем его к нормальному виду. Используя теорему 1(Осцилляционная теорема) из пункта 2.3, сформулируем условия теоремы 2 и теоремы 3 .

2.1 Оператор Бельтрами-Лапласа на сферически симметричном многообразие

Пусть сферически симметричное многообразие. Опишем данное многообразие подробнее.

Фиксируем начало координат и некоторую гладкую функцию на интервале такую, что .

Определим наше многообразие следующим образом:

1) Множество точек является открытым шаром в радиуса , с центром

в т.е. все

2)в полярных координатах (где и ) риманова метрика на определяется как

где стандартная риманова метрика на сфере (в дальнейшем )

3) риманова метрика в является гладким продолжением метрики

Рассмотрим на решения следующего уравнения

где - гладкая, неотрицательная функция. Будем считаем, что на выполнены

условия		.
Найдем вид оператора			в координатах	. Пусть	риманов метрический

тензор на ,	, а		элементы матрицы	(т.е. контравариантные координаты


метрического тензора).

В заданной метрике имеем

где определитель матрицы метрического тензора в метрике на римановом многообразии . Из вида метрики сразу следует, что

где элемент обратной матрицы метрического тензора на .

Подставляя полученные выражение в общую формулу оператора Лапласа-Бельтрами:

получаем

Вычисляя производные по переменной , получим

где

Следовательно

общий вид оператора

2.2 Спектральное уравнение и приведение его к нормальной форме.

Пусть ортонормированный базис в из собственных функций оператора а соответствующие собственные числа. Будем считать, что собственные числа пронумерованы

в порядке возрастания, то есть выполнено Тогда для любого имеем:

где

Подставим в	и получим, что для любого индекса функция
	является решением уравнения

т.е. для любого индекса функция является решением обыкновенного дифференциального уравнения

Данное уравнение играет важную роль при изучении свойств решений уравнения . В дальнейшем будем называть его спектральным.

Приведем уравнение к так называемой нормальной форме, т.е. к следующему виду

Произведём замену переменных

Подставим данные выражения в уравнение и получим, после сокращений, следующее:

ограничены, и более того

Используя обозначение , приведем наше дифференциальное уравнение к нормальному виду

2.3 Ограниченные решения дифференциального уравнения второго порядка в нормальной форме.

Для исследования свойств решений дифференциального уравнения второго порядка в нормальной форме существует ряд теорем. Следующая теорема позволяет нам утверждать, что при выполнении ряда условий все решения уравнения

стремятся к нулю на бесконечности.


Теорема 1(Осцилляционная теорема) Если для любого		выполнены следующие
условия:	непрерывна и ограничена, то все решения уравнения

ограничены, имеют бесконечно много нулей, причем амплитуды колебаний монотонно

убывают. Если кроме того	, то все решения уравнения	стремятся к
нулю при

3. Ограниченные решения Гельмгольца на сферически симметричном многообразие

Введем следующее обозначение

Теорема 2 Пусть

. Пусть

существует

выполнены

следующие условия:

непрерывна и ограничена при

тогда

на

существует

ограниченное решение

уравнения

имеющее предел равный

нулю при
Доказательство
Из условия теоремы следует, что для некоторого	выполнено:

для всех		непрерывна и ограниченной вариации, кроме того	.

Пусть	, то есть		и	. Тогда из	следует, что		является решением
уравнения . Ясно, что				для любого		. Пусть	на
интервале		функция		и	, следовательно в силу непрерывности и
ограниченности		,		на интервале

Применяя теорему 1 для дифференциального уравнения в нормальной форме, получим, что

, и следовательно .

Учитывая, что можно утверждать следующее: существует ограниченное решение

уравнения ,

такое что

При этом оно не зависит от

Теорема доказана.

Пример Пусть оложим Заметим, что

выполнены следующие условия:

непрерывна и ограниченной вариации. То есть выполняются условия теоремы 2, и следовательно существует нетривиальное ограниченное решение уравнения имеющее предел равный нулю при Например

Пусть	риманово многообразие изометричное прямому произведению

			с метрикой		Здесь	–

положительная, гладкая на		функция, а		метрика на	В дальнейшем будем считать, что

Теорема 3 Пусть монотонно убывают, причём

для любого На многообразии выполнено условие

где		а	из уравнения (2). Тогда для любого ограниченного решения
уравнения (2) существует				, не зависящий от
Доказательство
В координатах	на	оператор		имеет вид

где внутренний лапласиан на . Формула проверяется непосредственно по определению оператора Лапласа-Бельтрами.

в порядке возрастания, то есть выполнено Тогда для любого имеем:

где

Из следует, что для любого индекса функция является решением обыкновенного дифференциального уравнения

Докажем сначала, что в условиях теоремы
для любого номера
Из ограниченности	и	следует ограниченность		для любого номера
Дважды интегрируя уравнение			, получаем равенство

где числа		любые.
Легко показать, что если при каком-то			выполнено			причем	и
не равны 0 одновременно, то из			следует, что		при	. Тогда из

ограниченности	следует, что для любого			либо		,
либо	. В первом случае по теореме единственности					. Покажем, что во
втором случае имеет место		Домножив при необходимости на -1, можно считать, что при всех
		. . Таким образом		монотонно возрастает и

Пусть

Тогда при некотором и всех выполнено

Покажем, что условие противоречит расходимости интеграла . Заметим, что

Перепишем равенство в виде

где

-монотонно убывающая функция в силу отрицательности . Если

то из следует, что при .. Поэтому

и, стало быть, выполнено равенство

Тогда из следует, что

Так как выполнено

Тем самым, для любого выполнено

Тогда из предположения получаем, при . Следовательно, справедливо Докажем далее, что для любой константы выполнено

Используя формулу Грина и определение , для получаем

Применяя формулу Грина раз (где произвольное натуральное число)получим

Применяя к правой части неравенство Коши-Буняковского, имеем

где константа зависящая от .Так как компакт, то из асимптотики Вейля следует, что существует положительная константа такая, что при достаточно больших выполнено